DÉNOMBREMENT IDÉE DE

Carte mentale

Élargissez votre recherche dans Universalis

Le dénombrable

Le lecteur peu habitué aux mathématiques supérieures peut être ici gêné par une confusion que saura éviter l'expert. S'agissant de nombres entiers, rien n'est à craindre si les éléments de l'ensemble considéré sont des objets concrets ou même abstraits, mais non numériques ; en revanche, il y a risque d'incompréhension si ces éléments sont eux-mêmes des nombres. Les deux ensembles E1 = {a, b, c, d, e} et E2 = {1, 2, 3, 4, 5} ont même nombre d'éléments ; on dit alors que le « cardinal » de E1 est égal au « cardinal » de E2, c'est-à-dire à 5. C'est seulement pour E2 que la notion de nombre entier joue à deux niveaux : 5 est un des éléments, 5 est aussi le nombre des éléments de l'ensemble.

Cela dit, comment caractériser les ensembles dénombrables ? Pour y parvenir, il nous faut passer par les notions d'égalité et d'équivalence, d'une part, par la distinction entre ensemble fini et ensemble infini, d'autre part, et mobiliser les opérations élémentaires sur les ensembles (l'inclusion essentiellement).

Premièrement, deux ensembles sont équivalents si à chaque élément de l'un correspond un élément et un seul de l'autre, et réciproquement, c'est-à-dire s'ils sont en correspondance biunivoque. L'ensemble des élèves d'une classe et l'ensemble des chaises sur lesquelles ils sont assis sont des ensembles équivalents. Mais, comme on va voir, l'équivalence se distingue de l'égalité. Intuitivement, on voit tout de suite que l'ensemble F1 des nombres entiers F1 = {1, 2, 3, 4, ...} est un ensemble infini, c'est-à-dire ayant un nombre infini d'éléments, chacun étant un nombre entier, tandis que les ensembles E1 et E2 mentionnés plus haut étaient deux ensembles finis, égaux entre eux car ayant le même cardinal. Intuitivement, on voit non moins vite que l'ensemble des nombres entiers pairs F2 = {2, 4, 6, 8, ...} est aussi un ensemble infini. Toujours au niveau de l'intuition, on est tenté de dire que F1 et F2 ne sont pas égaux entre eux, car on a manifestement F2 ⊂ F1, l'ensemble F1 comportant tous les éléments de F2, mais aussi tous les nombres impairs. En revanche, F1 [...]


1  2  3  4  5
pour nos abonnés,
l’article se compose de 4 pages


Écrit par :

  • : professeur à l'université de Paris-IV-Sorbonne

Classification

Pour citer l’article

Roger DAVAL, « DÉNOMBREMENT IDÉE DE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 22 novembre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/idee-de-denombrement/