IDÉAL, mathématiques

ALGÈBRE

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 7 218 mots

Dans le chapitre « La théorie des idéaux »  : […] À l'origine de la théorie des anneaux, on trouve essentiellement des recherches de théorie des nombres. En 1831, Gauss avait été amené, à propos de ses célèbres recherches sur les résidus biquadratiques, à étudier des propriétés de divisibilité dans l'anneau Z [ i ] des « entiers de Gauss » de la forme a  +  bi , a et b entiers relatifs et i 2  = − 1 ; il avait constaté une parfaite analogie avec […] Lire la suite

ALGÉBRIQUES STRUCTURES

  • Écrit par 
  • Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
  •  • 34 159 mots

Dans le chapitre « Espèces de structures plus riches que celle d'algébroïde à gauche (ou à droite) sur un annoïde »  : […] Une algèbre sur un anneau commutatif A (ou A -algèbre ) est un algébroïde A  = (E, λ ∗ , λ ♥ , λ • ) sur un annoïde A tel que A  = (A,  l ⊤ ,  l ⊥ ) soit un anneau commutatif, (E, λ ∗ , λ • ) un A -module et λ ♥ une loi de composition interne dans E. Parmi les structures sous-jacentes à une structure S A g  = ( S l ⊤ ,  S l ⊥ ,  S l ∗ ,  S l ♥ ,  S l ) d'algèbre sur un anneau commutatif A  = […] Lire la suite

ANNEAUX & ALGÈBRES

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 5 224 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Idéaux »  : […] Soient A et B deux anneaux (ou deux algèbres) et f un homomorphisme d'anneau (ou d'algèbre) de A dans B. L'ensemble N des éléments de A dont l'image par f est l'élément nul de B est appelé le noyau de f  ; c'est un sous-groupe additif (ou une sous-algèbre) de A qui possède la propriété supplémentaire suivante : « Pour tout élément x de A et tout élément y de N, les éléments xy et yx appartiennent […] Lire la suite

CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à plusieurs variables

  • Écrit par 
  • Georges GLAESER
  •  • 5 618 mots

Dans le chapitre « L'œuvre de H. Whitney »  : […] Le mathématicien américain Hassler Whitney, dont la contribution à des branches très variées des mathématiques a été souvent décisive (théorie des graphes, topologie algébrique et différentielle, axiomatisation de la notion de variété ou de produit tensoriel, étude des ensembles analytiques réels, etc.), est le véritable initiateur du renouveau du calcul différentiel des fonctions de plusieurs va […] Lire la suite

CORPS, mathématiques

  • Écrit par 
  • Robert GERGONDEY
  • , Universalis
  •  • 6 417 mots

Dans le chapitre « Corps de restes »  : […] Le procédé de Kronecker pour définir les corps de nombres algébriques peut être présenté dans un contexte plus général. Un idéal m d'un anneau commutatif unitaire A est appelé idéal maximal s'il n'est contenu strictement dans aucun autre idéal que A lui-même. L'anneau quotient A/ m ne possède alors aucun idéal autre que 0 et A/ m , car de tels idéaux sont en correspondance biunivoque avec les i […] Lire la suite

DEDEKIND RICHARD (1831-1916)

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 2 097 mots

Dans le chapitre « Les idéaux »  : […] Le grand mérite de Dedekind fut, par un puissant effort d'abstraction, de substituer au calcul d'entités à demi métaphysiques, comme les « nombres idéaux » de Kummer, un calcul sur des entités entièrement définissables à partir de l'anneau donné A ; mais ces entités soumises au calcul étaient, non plus des éléments de A ou d'un ensemble plus grand que A, mais des sous-ensembles de A (ce qui, à l' […] Lire la suite

NOETHER EMMY (1882-1935)

  • Écrit par 
  • Paul DUBREIL
  •  • 1 180 mots

Dans le chapitre « Les deux mémoires principaux »  : […] De son œuvre, développée et prolongée après sa mort précoce le 14 avril 1935 à Bryn Mawr (Pennsylvanie) par ses amis et ses élèves, citons deux travaux parmi les plus importants. Le premier s'intitule Idealtheorie in Ringbereichen . Les notions de base sont celle d'anneau (groupe par rapport à une addition commutative, muni en outre d'une multiplication associative, distributive pour l'addition et […] Lire la suite

NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres algébriques

  • Écrit par 
  • Christian HOUZEL
  •  • 14 064 mots

Dans le chapitre « La théorie des idéaux »  : […] Dedekind a remplacé la considération des « nombres idéaux », que Kummer n'avait jamais définis comme objets mathématiques, par celle d'objets véritables, qu'il a appelés les idéaux du corps K. L'idée est de considérer, au lieu d'un diviseur A et de la congruence f  (θ) ≡  g (θ) (mod A) qu'il définit dans les entiers algébriques, l'ensemble a de ces entiers qui sont congrus à 0 modulo A, c'est-à- […] Lire la suite

NORMÉES ALGÈBRES

  • Écrit par 
  • Jean-Luc SAUVAGEOT, 
  • René SPECTOR
  •  • 4 735 mots

Dans le chapitre « Idéaux maximaux et caractères »  : […] L'étude des idéaux maximaux est sans doute l'outil le plus puissant pour obtenir des propriétés des algèbres normées commutatives unitaires. Indiquons brièvement qu'un idéal d'une algèbre normée commutative A est une partie I de A qui est un sous-espace vectoriel de A et qui, d'autre part, contient l'élément ab dès que a est un élément de I et b un élément quelconque de A. Évidemment A est un idé […] Lire la suite