HYPERPLAN

CONVEXITÉ - Ensembles convexes

  • Écrit par 
  • Victor KLEE
  •  • 4 793 mots
  •  • 7 médias

Dans le chapitre « Théorèmes de séparation »  : […] En analyse fonctionnelle, en théorie des jeux, en intégration et même dans certains problèmes relatifs aux graphes coloriés en théorie des graphes, on utilise des théorèmes de séparation et de support. Les théorèmes de séparation établissent les conditions sous lesquelles on peut séparer (au sens du chapitre 1) deux sous-ensembles convexes disjoints X et Y d'un espace vectoriel topologique E. Pou […] Lire la suite

CONVEXITÉ - Fonctions convexes

  • Écrit par 
  • Robert ROLLAND
  •  • 2 837 mots
  •  • 6 médias

Dans le chapitre « Sous-différentiel »  : […] Soit f une fonction convexe de E dans R −. Supposons qu'il existe un élément l de A f (c'est-à-dire une minorante affine continue de  f  ) tel que l ( x 0 ) =  f  ( x 0 ) ; on dit alors que f est sous-différentiable en x 0  ; l'application linéaire continue x * associée à l'application affine  l est un sous-gradient de f en x 0  ; l'ensemble des sous-gradients de f en x 0 est appelé le sou […] Lire la suite

GROUPES (mathématiques) - Groupes classiques et géométrie

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 8 863 mots
  •  • 3 médias

Dans le chapitre « Les groupes orthogonaux des formes non positives »  : […] Dans le chapitre 2, on peut remplacer, au départ, le produit scalaire par une forme bilinéaire symétrique non dégénérée quelconque Φ( x , y ) ; pour une telle forme, il existe toujours au moins une base (dite adaptée à Φ) telle que : et le nombre p est le même pour toutes les bases adaptées (« loi d'inertie ») ; on dit que ( p , n  −  p ) est la signature de Φ ; un produit scalaire est donc un […] Lire la suite

HILBERT ESPACE DE

  • Écrit par 
  • Lucien CHAMBADAL, 
  • Jean-Louis OVAERT
  •  • 3 425 mots

Dans le chapitre « Espaces hilbertiens »  : […] Dans la théorie précédente, le théorème de projection orthogonale (théorème 4) a joué un rôle fondamental. Il ne s'étend malheureusement pas au cas d'un sous-espace vectoriel fermé quelconque F d'un espace hermitien. Ainsi, dans l'espace hermitien C [− 1, 1]), l' hyperplan fermé noyau de la forme linéaire continue : n'admet pas de supplémentaire orthogonal. Néanmoins, si F est complet, le théorème […] Lire la suite

LINÉAIRE ALGÈBRE

  • Écrit par 
  • Lucien CHAMBADAL, 
  • Jean-Louis OVAERT
  •  • 31 528 mots

Dans le chapitre « Dimension et codimension d'un sous-espace vectoriel »  : […] Soit E un espace vectoriel sur K. On dit qu'un sous-espace vectoriel E′ de E est de codimension finie dans E si l'espace vectoriel quotient E/E′ est de dimension finie. La dimension de E/E′ s'appelle alors codimension de E′ dans E, et se note codim E E′. Les sous-espaces vectoriels de codimension 1 dans E s'appellent hyperplans de E. Pour qu'un sous-espace vectoriel E′ de E soit de codimension f […] Lire la suite

NORMÉS ESPACES VECTORIELS

  • Écrit par 
  • Robert ROLLAND, 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 6 094 mots

Dans le chapitre « Hyperplans fermés »  : […] Soit E un espace vectoriel normé et F un sous-espace vectoriel de E. Si x et y appartiennent à l'adhérence F− de F dans E, cela signifie qu'il existe des suites ( x n ) et ( y n ) d'éléments de F qui convergent respectivement vers x et y  ; pour λ, μ ∈ K, la suite (λ x n +  μ y n ) d'éléments de F converge vers λ x  + μ y qui appartient donc aussi à F−. Ainsi, l'adhérence d'un sous-espace vectori […] Lire la suite

PROJECTIFS ESPACE & REPÈRE

  • Écrit par 
  • Jacques MEYER
  •  • 777 mots

Espace projectif . Étant donné un espace vectoriel E sur un corps commutatif K, on considère dans E′ = E — {0} la relation G entre deux éléments x et y définie par : La relation G est une relation d'équivalence et l'ensemble quotient E′/ G est appelé espace projectif déduit de E et est noté P (E). L'ensemble E est appelé espace vectoriel sous-jacent de P (E). Une classe d'équivalence, élément […] Lire la suite

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