HYDROLOGIE

Les modèles mathématiques

L'évolution de l'hydrologie au cours des dernières décennies a été marquée par l'introduction de l'informatique. Cette dernière a d'abord permis, et permet toujours, la réalisation rapide, économique et sûre de tâches traditionnelles de collecte, de stockage, d'édition et de traitement des volumineuses données hydrologiques. Mais l'informatique a également permis de mettre en scène et d'animer l'information hydrologique de façon nouvelle grâce à la construction de modèles mathématiques.

Considérons un objet hydrologique ; il est très généralement possible de formaliser un modèle mathématique en temps discret de cet objet par une expression du type :

y_t est un vecteur dont les composantes sont les valeurs prises au temps t par un ensemble de variables endogènes, dites aussi variables   de sortie, telles que débit ou température d'une rivière, niveau d'un lac ou d'un puits. x_t est un vecteur dont les composantes sont les valeurs prises au temps t par un ensemble de variables exogènes, dites aussi variables d'entrée, telles que hauteurs de précipitation, température de l'air ou vitesse du vent. θ est un vecteur de paramètres, indépendants du temps, sur la signification desquels nous reviendrons.

La fonction f traduit la nature et la structure du modèle utilisé. Elle est liée, sous la forme où nous l'avons écrite, à un pas de temps et permet, à partir de l'historique des variables exogènes à partir du temps t (x_t, x_t-1, x_t-2, ...), de l'historique des variables endogènes à partir du temps t − 1 (y_t-1, y_t-2, ...) et des paramètres (θ), de calculer :

Dans un modèle déterministe, ŷ_t sera considéré comme une estimation au temps t du vecteur des variables endogènes. Ce vecteur estimé ŷ_t est généralement différent du vecteur observé y_t en raison de l'imprécision des données et de l'imperfection du modèle, incertitudes qui s'incarnent dans le terme ε_t, qui apparaît alors comme une erreur d'estimation.

Dans un modèle stochastique, ŷ_t sera considéré comme une composante déterministe à laquelle s'ajoute une composante aléatoire ε_t.

On distingue souvent les modèles empiriques et les modèles conceptuels. Dans les premiers, on ne se préoccupe pas des processus physiques à l'œuvre dans la production du phénomène étudié. On se contente d'établir une relation entre variables explicatives et variables expliquées. C'est, par exemple, le cas des modèles (stochastiques) autorégressifs d'ordre p, souvent utilisés pour modéliser les débits :

 

Le débit relatif à une période donnée (y_t) est ici exprimé comme une fonction linéaire des débits des p périodes précédentes augmentée d'un terme aléatoire.

Les auteurs de modèles conceptuels fabriquent au contraire une image de l'objet modélisé où les phénomènes physiques ont explicitement leur place. C'est le cas des modèles (déterministes) à réservoirs tels que le modèle de bassin versant représenté sur la figure.   Ici, la précipitation et l'évapotranspiration potentielle constituent les variables exogènes, les stocks et les débits constituant les variables endogènes. La précipitation augmente la réserve en eau disponible du réservoir « sol » qui alimente l'évapotranspiration réelle (jusqu'à concurrence de l'évapotranspiration potentielle), l'infiltration et éventuellement le ruissellement. L'eau infiltrée comme l'eau ruisselée passent ensuite dans des réservoirs simulant le transfert souterrain (réservoir « zone non saturée » et réservoir « nappe ») et le transfert superficiel (réservoir « surface »). Le débit à l'exutoire du bassin est finalement constitué de vidanges et de débordements des différents réservoirs considérés. Chaque réservoir est caractérisé par un ou plusieurs paramètres de volume et un ou plusieurs paramètres de vidange. Nous détaillerons sur le réservoir « zone non saturée » le fonctionnement d'un tel modèle. Ce réservoir est caractérisé par quatre paramètres (R_M, R₀, k_v, k_h). Il reçoit le débit d'infiltration Q_i produit par le réservoir « sol ». Quel que soit le volume R contenu dans ce réservoir (compris entre 0 et R_M, volume maximal), il se vidange avec un débit Q_v vers le réservoir « nappe » selon un processus du premier ordre de constante k_v :

Dès que le volume V est supérieur au volume R₀ (compris entre 0 et R_M), une seconde vidange, de constante k_h, est déclenchée, dont le débit Q_h alimentera directement le débit à l'exutoire du bassin :

Dès que le volume du réservoir atteint le volume maximal R_M apparaît un débit de débordement Q_d.

L'équation du bilan du rése [...]

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