LEBESGUE HENRI (1875-1941)

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Intégration et théorie des ensembles

L'exposition classique du calcul intégral est liée à l'idée de nombre. L'intégrale simple définie, étendue à un intervalle D(< τ), est approchée par les sommes de Riemann :

Quant à l'intégrale indéfinie F, elle apparaît à Lebesgue comme « un répertoire dans lequel on peut lire n'importe quelle intégrale définie » par la formule :

Pour une interprétation plus profonde qui permette l'extension à des ensembles très généraux, Lebesgue dissocie nettement les trois rôles que joue l'abscisse x dans la formule (1).

1. Détermination du domaine D, ensemble de points et des sous-ensembles δi,

2. Détermination d'un point Pi, élément de chaque δi,

3. Introduction d'une mesure μi de ces sous-ensembles δi.

La somme prend la forme :

et la limite Φ(D) de cette somme, quand elle existe, est une fonction de domaine, intégrale de la fonction de point f (P).

À un domaine déterminé correspond l'intégrale définie. Le domaine D étant variable, Lebesgue nomme intégrale indéfinie « la correspondance entre un domaine et l'intégrale définie correspondante ».

Inversement, la dérivation d'une fonction numérique Φ(D) de domaine consiste, un point du domaine P étant choisi, à l'entourer d'un petit domaine δ de mesure μ et à chercher la limite du rapport Φ (δ)/μ quand μ tend vers zéro. Plus généralement, si Φ et Ψ sont deux fonctions de domaine, la limite (si elle existe) du rapport Φ(δ)/Ψ(δ) est la valeur en P de la fonction de point f (P), dérivée de la fonction Φ par rapport à la fonction Ψ.

La mise en œuvre de ces conceptions exige des études préalables sur les familles de domaines auxquels on attache des mesures et une classification des fonctions de point et des fonctions de domaine. Guidé par les modèles de la physique classique, Lebesgue nomme grandeur toute fonction de domaine qui peut être considérée comme intégrale indéfinie.


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Pour citer l’article

Lucienne FÉLIX, « LEBESGUE HENRI - (1875-1941) », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 24 novembre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/henri-lebesgue/