GROUPES (mathématiques)Groupes classiques et géométrie

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Simplicité du groupe O+

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Le groupe linéaire général

Soit E un espace vectoriel de dimension n sur le corps R des nombres réels ; on appelle groupe linéaire général de E et on note GL(E) le groupe de tous les automorphismes de l'espace vectoriel E (ou transformations linéaires de E en lui-même) ; il est isomorphe au groupe GL(n, R) des matrices inversibles d'ordre n sur R. L'application u ↦ det(u), où det(u) désigne le déterminant de u, est un homomorphisme de GL(E) sur le groupe multiplicatif R * des nombres réels ≠ 0 ; le noyau SL(E), ou SL(n, R), de cet homomorphisme est appelé groupe unimodulaire ou groupe linéaire spécial.

Générateurs

On caractérise aisément les involutions de GL(E), transformations u telles que u2 = 1 ou u-1 = u. Comme on peut écrire :

on voit que E est somme directe de deux sous-espaces V+, V- dans lesquels on a respectivement u(x) = x et u(x) = − x (ce sont donc les sous-espaces propres de u pour les valeurs propres 1 et − 1) ; on a :
où dim V- est la dimension de l'espace vectoriel V-. Si V= {0}, u est l'identité ; si V+ = {0}, u est la symétrie x ↦ − x. Lorsque V+ est un

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Autres références

«  GROUPES, mathématiques  » est également traité dans :

GROUPES (mathématiques) - Vue d'ensemble

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 774 mots

Les idées de symétrie et de régularité se retrouvent dans toutes les civilisations, bien avant que ne fût conçue la notion de groupe : par exemple, presque tous les groupes discrets de déplacements du plan (il y en a dix-sept types non isomorphes) sont sous-jacents aux multiples […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/groupes-mathematiques-vue-d-ensemble/

GROUPES (mathématiques) - Généralités

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 6 229 mots
  •  • 1 média

On se propose de présenter ici les notions fondamentales de théorie des groupes qui interviendront constamment dans la suite des articles qui traitent des groupes. Ces articles contiennent un très grand nombre d'exemples, c'est pourquoi cet exposé introductif n'explicite que quelques groupes utilisés aussi ailleurs, notamment en cristallographie, […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/groupes-mathematiques-generalites/

GROUPES (mathématiques) - Groupes finis

  • Écrit par 
  • Everett DADE
  •  • 5 062 mots

Née de l'étude des groupes de permutations des racines d'équations, la théorie des groupes finis s'est développée indépendamment depuis le Traité des substitutions et des équations algébriques (1870) de Camille Jordan . Après les travaux importants de Burnside, de Frobenius et de leurs élèves vers le commencement du […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/groupes-mathematiques-groupes-finis/

GROUPES (mathématiques) - Représentation linéaire des groupes

  • Écrit par 
  • Everett DADE
  •  • 3 759 mots

Développée d'abord comme moyen de classification des différentes apparences du même groupe G comme groupe de transformations linéaires, la théorie des représentations linéaires est devenue un des outils les plus puissants pour l'étude de la structure de G. En particulier, les caractères irréductibles d'un groupe fini G, introduits pour mieux […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/groupes-mathematiques-representation-lineaire-des-groupes/

GROUPES (mathématiques) - Groupes de Lie

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 10 813 mots
  •  • 2 médias

La théorie des groupes de Lie , fondée dans la période de 1870-1880 par le mathématicien norvégien Sophus Lie , a d'abord été considérée comme une partie assez marginale des mathématiques, liée à des problèmes touchant les équations différentielles , les équations aux dérivées partielles et la géométrie différentielle. Leur étude générale a mis […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/groupes-mathematiques-groupes-de-lie/

ALGÈBRE

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 7 218 mots

Dans le chapitre « La structure de groupe »  : […] La structure de groupe est une des structures algébriques les plus simples et, sans conteste, la plus importante des mathématiques modernes. Son universalité ne s'arrête pas là : le psychologue Piaget a mis en évidence le rôle essentiel joué par cette notion dans les mécanismes mêmes de la pensée, et H. Poincaré a pu dire que la notion de groupe […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/algebre/#i_13366

ALGÉBRIQUES STRUCTURES

  • Écrit par 
  • Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
  •  • 34 158 mots

Dans le chapitre « Espèce de structure de groupe-gradué de type A »  : […] Soit G = (E, l) un groupe. Une famille de sous-groupes de G est une application f d'un ensemble A dans P(E) telle que, pour tout élément λ de A, (f (λ), l […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/structures-algebriques/#i_13366

BOREL ARMAND (1923-2003)

  • Écrit par 
  • Pierre CARTIER
  •  • 791 mots

celle des faisceaux, qui bouleversait la géométrie. Dans la tradition zurichoise, Borel s'intéressait avant tout à la théorie des groupes, et à ses applications à la géométrie. Il maîtrisait parfaitement les méthodes dites « globales », qui s'opposent aux méthodes plus algébriques dues à Sophus Lie (« algèbres de Lie »). […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/armand-borel/#i_13366

BURNSIDE WILLIAM SNOW (1852-1927)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 394 mots

Mathématicien britannique, spécialiste de la théorie des groupes. Né le 2 juillet 1852 à Londres (Grande-Bretagne) d'un père écossais, William Snow Burnside fait ses études supérieures au Pembroke College de l'université de Cambridge, dont il est diplômé en 1875 et où il effectue ses recherches jusqu'en 1885. Dans son premier article, daté de 1883 […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/william-snow-burnside/#i_13366

CAUCHY AUGUSTIN-LOUIS (1789-1857)

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 1 403 mots

Dans le chapitre « Une production considérable »  : […] il partage avec Binet la découverte de la formule donnant le produit de deux déterminants. Il a été aussi le premier à dégager clairement la notion de groupe de permutations et on lui doit les premiers résultats non triviaux de la théorie des groupes (par exemple, l'existence dans un groupe d'un élément d'ordre premier p, pour […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/augustin-louis-cauchy/#i_13366

CAYLEY ARTHUR (1821-1895)

  • Écrit par 
  • Lubos NOVY
  •  • 1 405 mots

Dans le chapitre « Définition des groupes abstraits finis »  : […] La richesse de l'approche de Cayley apparaît dès ses premiers travaux sur la théorie des groupes (1854). Jusque-là, seuls les groupes de substitution étaient utilisés. Cayley, abordant les travaux de Galois, Gauss et Cauchy avec les méthodes des algébristes anglais, donne une définition des groupes abstraits ; en fait, sa définition ne convient que […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/arthur-cayley/#i_13366

CHAMPS THÉORIE DES

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 4 478 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre «  Théories de jauge et description des interactions nucléaires »  : […] par les facteurs eiaQ ayant la structure d'un groupe appelé U(1) par les mathématiciens, on parle d'invariance de jauge U(1). L'électrodynamique quantique peut alors se construire comme la théorie minimale qui soit invariante lors des multiplications des fonctions d'onde des électrons par une […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/theorie-des-champs/#i_13366

CHEVALLEY CLAUDE (1909-1984)

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 259 mots

Fils d'ambassadeur, né à Johannesburg, Chevalley a fait la plus grande partie de ses études à Paris, où il fut élève de l'École normale supérieure, de 1926 à 1929. Il a enseigné à l'université de Rennes, puis aux États-Unis, aux universités de Princeton et de Columbia (New York). Il termina sa carrière comme professeur et correspondant de l' […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/claude-chevalley/#i_13366

DIEUDONNÉ JEAN (1906-1992)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 284 mots
  •  • 1 média

Les travaux de ce mathématicien français, né le 1er juillet 1906 à Lille, concernent d'importants domaines de la topologie et de l'algèbre. Depuis 1935, et jusqu'à ces dernières années, Dieudonné a collaboré très activement à l'élaboration des Éléments de mathématique de […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/jean-dieudonne/#i_13366

FROBENIUS GEORG FERDINAND (1849-1917)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 531 mots

Mathématicien allemand, connu en particulier pour ses travaux en théorie des groupes. Né le 26 octobre 1849 à Charlottenburg, près de Berlin (Prusse), Georg Ferdinand Frobenius était le fils d'un pasteur protestant. Après des études secondaires au lycée Joachimsthal de Berlin, il passe un semestre à l'université de Göttingen puis continue ses […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/georg-ferdinand-frobenius/#i_13366

GALOIS ÉVARISTE (1811-1832)

  • Écrit par 
  • Jean-Pierre AZRA, 
  • Robert BOURGNE
  •  • 2 069 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « L'œuvre mathématique »  : […] primitives de l'unité qui laisse pressentir l'utilisation par Galois de la théorie des groupes. Si on ajoute qu'en 1830 Cauchy vient de formuler la notion de groupe de permutations d'un ensemble fini, on conçoit où en étaient les problèmes étudiés par Galois au moment où il soumet son premier mémoire à l'Académie des sciences […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/evariste-galois/#i_13366

GÉNÉRATEUR, mathématique

  • Écrit par 
  • André WARUSFEL
  •  • 1 024 mots

Il est possible de déterminer tous les groupes monogènes : il s'agit, soit d'un groupe infini, auquel cas il est isomorphe à (ℤ, +), soit fini, de cardinal N, et isomorphe au groupe des rotations du plan dont l'angle a pour mesure un multiple de 360 /N degrés. La classification des groupes admettant un nombre fini de générateurs est très […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/generateur-mathematique/#i_13366

GÉOMÉTRIE

  • Écrit par 
  • François RUSSO
  •  • 10 635 mots
  •  • 4 médias

Dans le chapitre « Transformations et groupes »  : […] Le rôle des transformations, en géométrie, ne fut pleinement compris que lorsque Klein leur associa la notion de groupe (cf. groupes [mathématiques]– Groupes classiques et géométrie), introduite par Évariste Galois (1811-1832) en 1830, et diffusée seulement en 1870 par le Traité des […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/geometrie/#i_13366

GROUPES DE GALOIS

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 178 mots

L'unique mémoire d'Évariste Galois (1811-1832), Sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux, présenté à l'Académie des sciences en 1831, reçut un avis défavorable de son rapporteur Siméon-Denis Poisson ; pourtant, l'importance de ce travail dans le développement de la théorie des groupes […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/groupes-de-galois/#i_13366

HALL PHILIP (1904-1982)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 428 mots

Mathématicien britannique, spécialiste de la théorie des groupes. Né le 11 avril 1904 à Hampstead près de Londres, abandonné par son père dès sa naissance, Philip Hall passe son enfance dans un milieu pauvre et fait ses études élémentaires au Christ's Hospital de Londres. Élève brillant, il est admis au King's College de l'université de Cambridge […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/philip-hall/#i_13366

HIGMAN GRAHAM (1917-2008)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 357 mots

Mathématicien britannique spécialiste de la théorie des groupes né le 19 janvier 1917, mort le 8 avril 2008. Fils d'un pasteur de l'Église anglicane, Graham Higman fait des études secondaires à Plymouth, puis obtient une bourse pour étudier à l'université d'Oxford. Il y accomplit son travail de thèse en mathématiques pures sous la direction d'Henry […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/graham-higman/#i_13366

INVARIANT, mathématique

  • Écrit par 
  • Nicole BERLINE
  •  • 1 753 mots

b2 ; a + c. Ces fonctions prennent la même valeur pour deux équations déduites l'une de l'autre par une isométrie : on dit qu'elles sont invariantes par le groupe des isométries du plan. De plus, si on exclut le cas d'une conique dégénérée en deux droites parallèles, deux coniques qui ont les mêmes invariants fondamentaux sont […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/invariant-mathematique/#i_13366

KODAIRA KUNIHIKO (1915-1997)

  • Écrit par 
  • Jacques MEYER
  •  • 254 mots

Né à Tōkyō (Japon), Kodaira Kunihiko fit des études de mathématiques et de physique théorique à l'université de sa ville natale, où il fut ensuite professeur. En 1949, il va enseigner à l'Institute for Advanced Study, puis à l'université de Princeton. En 1954, il obtint la médaille Fields pour sa théorie des intégrales […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/kodaira/#i_13366

LIE GROUPES DE

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 176 mots

La publication des trois volumes du traité intitulé Theorie der Transformationsgruppen, de 1888 à 1893, synthétise l'apport fondamental du mathématicien norvégien Sophus Lie (1842-1899) à la théorie des groupes. Écrit en collaboration avec Friedrich Engel, cet ouvrage rassemble les nombreux résultats […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/groupes-de-lie/#i_13366

LIE SOPHUS (1842-1899)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 1 333 mots

Dans le chapitre « L'œuvre de Lie »  : […] époque, d'après son propre témoignage, que datent les premières idées de Lie sur les groupes de transformations. Dans un mémoire de 1870, écrit en commun, Lie et Klein étudient systématiquement les sous-groupes à un paramètre du groupe projectif du plan et les orbites de ces sous-groupes, les « courbes W » et retrouvent ainsi, dans le cadre de la […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/sophus-lie/#i_13366

MALTSEV ANATOLI IVANOVITCH (1909-1967)

  • Écrit par 
  • Gabriel SABBAGH
  •  • 633 mots

Mathématicien soviétique, célèbre pour ses travaux en logique et en algèbre. Les premiers écrits de Maltsev contiennent les idées essentielles d'une bonne partie de son œuvre. Dans son premier et plus célèbre article, Untersuchungen aus dem Gebiete der Mathematischen Logik, 1936, […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/anatoli-ivanovitch-maltsev/#i_13366

MODÈLES THÉORIE DES

  • Écrit par 
  • Daniel ANDLER, 
  • Daniel LASCAR, 
  • Gabriel SABBAGH
  •  • 7 958 mots

Dans le chapitre « Théorie des modèles et algèbre traditionnelle »  : […] car il n'y a par exemple pas de théorème de Cantor-Bernstein pour l'isomorphisme (deux groupes commutatifs dont chacun est isomorphe à un facteur direct de l'autre ne sont pas toujours isomorphes), alors qu'il y a un théorème de Cantor-Bernstein pour l'équivalence élémentaire ; et, de fait, le logicien a résolu son problème dans beaucoup plus de […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/theorie-des-modeles/#i_13366

NICOLAS BOURBAKI (A. Aczel)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 894 mots

mais apparaît de façon naturelle dans de nombreux autres domaines, y compris en dehors des mathématiques. De même, la notion de groupe a été fort développée depuis les travaux d'Évariste Galois (1811-1832), mais Bourbaki met l'accent sur l'importance de la structure intrinsèque de groupe. Selon Aczel, le concept de structure, issu des […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nicolas-bourbaki/#i_13366

OBJET UNIVERSEL, mathématique

  • Écrit par 
  • Patrick DEHORNOY
  •  • 1 106 mots

Plutôt que de chercher un cadre formel unique, nous allons décrire deux exemples appartenant à des mondes très différents. Considérons les groupes en algèbre. Un groupe G est un couple formé d'un ensemble G et d'une opération binaire dans G telle que, en la notant comme une multiplication, […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/objet-universel-mathematique/#i_13366

PONTRIAGUINE LEV SEMENOVITCH (1908-1988)

  • Écrit par 
  • Universalis
  •  • 204 mots

Mathématicien russe, membre de l'Académie des sciences (1958), Prix Staline (1941), Prix Lénine (1962). Né à Moscou, Pontriaguine perd la vue à quatorze ans et achève néanmoins ses études à l'université de Moscou en 1929 […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/lev-semenovitch-pontriaguine/#i_13366

RAMAN EFFET

  • Écrit par 
  • Michel DELHAYE
  •  • 6 454 mots
  •  • 5 médias

Dans le chapitre « Symétrie des vibrations et théorie des groupes »  : […] Une méthode très élégante permet de tourner cette difficulté, en se fondant uniquement sur les propriétés de symétrie des molécules, et en faisant appel à des résultats connus de la théorie des groupes. La prévision des caractères essentiels des spectres vibrationnels d'un édifice moléculaire donné se résume en quelques étapes […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/effet-raman/#i_13366

RÉFLEXIONS SUR LA RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS (J. L. Lagrange)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 195 mots

Joseph Louis Lagrange (1736-1813) publie en 1770 les Réflexions sur la résolution algébrique des équations dans les Mémoires de l'Académie royale des sciences et belles-lettres de Berlin, Académie où il avait succédé à Leonhard Euler comme directeur des […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/reflexions-sur-la-resolution-algebrique-des-equations/#i_13366

SCHUR ISSAÏ (1875-1941)

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 257 mots

Mathématicien allemand d'origine russe, né à Mohilev et mort à Tel-Aviv. Issaï Schur fit ses études secondaires à Libau (Lettonie) et ses études supérieures à l'université de Berlin, où il fut l'élève de Frobenius. Il enseigna à Bonn de 1911 à 1916, puis à Berlin, jusqu'au moment où les lois raciales l'obligèrent à abandonner sa chaire, en 1935 ; […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/issai-schur/#i_13366

SYMÉTRIES, physique

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 5 990 mots

Dans le chapitre «  LES SYMÉTRIES BRISÉES »  : […] Lorsqu'un problème physique admet une symétrie décrite mathématiquement par un groupe G, chaque solution n'est pas forcément invariante par G. En fait, c'est plutôt l'ensemble des solutions qui est invariant par G. Un exemple classique est la cristallisation d'un liquide. Lorsque la température décroît, l'isotropie (c'est-à-dire l'équivalence de […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/symetries-physique/#i_13366

THOMPSON JOHN GRIGGS (1932-    )

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 320 mots

Mathématicien américain, lauréat de la médaille Fields en 1970 pour ses travaux en théorie des groupes. Né le 13 octobre 1932 à Ottawa dans le Kansas (États-Unis), John Griggs Thompson fait ses études supérieures à l'université Yale de New Haven (Connecticut), puis à l'université de Chicago où il soutient sa thèse de […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/john-griggs-thompson/#i_13366

TITS JACQUES (1930-    )

  • Écrit par 
  • Universalis
  •  • 547 mots

Tits portent principalement sur l'interaction entre géométrie et groupes. Il est l'inventeur de la notion d'immeuble. Les immeubles sont des objets géométriques (exprimés en termes ensemblistes) possédant certaines propriétés et que l'on met en relation avec divers objets, en particuliers des groupes algébriques sur les corps ou sur les corps […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/jacques-tits/#i_13366

TRESSES, mathématiques

  • Écrit par 
  • Patrick DEHORNOY
  •  • 5 106 mots
  •  • 25 médias

Dans le chapitre « Un groupe aux multiples facettes »  : […] Ce qui rend les groupes de tresses spécialement intéressants est le fait que, à côté de la construction décrite ci-dessus, plusieurs autres approches a priori indépendantes mènent aux mêmes groupes et en révèlent des aspects complémentaires […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/tresses-mathematiques/#i_13366

WEBER HEINRICH MARTIN (1842-1913)

  • Écrit par 
  • Jeanne PEIFFER
  •  • 804 mots

Universalité. C'est le mot qui caractérise peut-être le mieux le mathématicien allemand Heinrich Weber. Esprit souple, il était capable de travailler dans des domaines très divers des mathématiques. Mais il concentra surtout ses recherches sur l'analyse et ses applications à la physique mathématique et obtint ses résultats les plus profonds en […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/heinrich-martin-weber/#i_13366

WIGNER EUGENE PAUL (1902-1994)

  • Écrit par 
  • Viorel SERGIESCO
  •  • 468 mots

Physicien théoricien américain d'origine hongroise (il est né le 17 novembre 1902 à Budapest), professeur à Princeton, Prix Nobel de physique en 1963 (avec M. Goeppert-Mayer et H. D. Jensen), auteur de contributions fondamentales à la physique mathématique et à la mécanique quantique en général, à la théorie du solide, à la physique nucléaire et à […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/eugene-paul-wigner/#i_13366

ZELMANOV EFIM ISAAKOVITCH (1955-    )

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 201 mots

Mathématicien russe, lauréat de la médaille Fields en 1994 pour ses travaux en théorie des groupes. Né le 7 septembre 1955 à Khabarovsk (Russie), Efim Isaakovitch Zelmanov fait ses études supérieures à l'université de Leningrad, puis à celle de Novosibirsk où il soutient sa thèse de doctorat en 1980. Membre de l'institut de […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/efim-isaakovitch-zelmanov/#i_13366

Voir aussi

Pour citer l’article

Jean DIEUDONNÉ, « GROUPES (mathématiques) - Groupes classiques et géométrie », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 21 novembre 2018. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/groupes-mathematiques-groupes-classiques-et-geometrie/