GROUPES (mathématiques)Groupes classiques et géométrie

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Le groupe linéaire général

Soit E un espace vectoriel de dimension n sur le corps R des nombres réels ; on appelle groupe linéaire général de E et on note GL(E) le groupe de tous les automorphismes de l'espace vectoriel E (ou transformations linéaires de E en lui-même) ; il est isomorphe au groupe GL(n, R) des matrices inversibles d'ordre n sur R. L'application u ↦ det(u), où det(u) désigne le déterminant de u, est un homomorphisme de GL(E) sur le groupe multiplicatif R * des nombres réels ≠ 0 ; le noyau SL(E), ou SL(n, R), de cet homomorphisme est appelé groupe unimodulaire ou groupe linéaire spécial.

Générateurs

On caractérise aisément les involutions de GL(E), transformations u telles que u2 = 1 ou u-1 = u. Comme on peut écrire :

on voit que E est somme directe de deux sous-espaces V+, V- dans lesquels on a respectivement u(x) = x et u(x) = − x (ce sont donc les sous-espaces propres de u pour les valeurs propres 1 et − 1) ; on a :
où dim V- est la dimension de l'espace vectoriel V-. Si V= {0}, u est l'identité ; si V+ = {0}, u est la symétrie x ↦ − x. Lorsque V+ est un hyperplan H, on dit que u est une réflexion d'hyperplan H.

Si H est un hyperplan d'équation (x) = 0 (f forme linéaire), les transformations de GL(E) qui laissent invariants tous les points de H sont de deux sortes :

a) les dilatations : une telle transformation u est définie par une droite D supplémentaire de H et par un nombre λ ≠ 1 tels que u(x) = λx dans D, d'où :

pour x quelconque dans E, p(x) étant la projection de x sur H parallèlement à D. On a det(u) = λ ; pour λ = − 1, on obtient les réflexions d'hyperplan H.

Dilatation

Dessin : Dilatation

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Dilatation 

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b) les transvections, de la forme :

a ∈ H ; dans l'hyperplan affine H1 parallèle à H, d'équation (x) = 1, u est la translation zz + a.

Transvection

Dessin : Transvection

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Transvection 

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On dit que u est une transvection d'hyperplan H et de droite D = Ra ; on a det(u) = 1. Les transvections forment un système générateur de SL(E) ; les dilatations et les transvections engendrent GL(E). Toute transvection est produit de deux réflexions.

Centralisateurs

Soit Z = Z(E) le groupe des


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Dilatation

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Transvection

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Simplicité du groupe O+

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Jean DIEUDONNÉ, « GROUPES (mathématiques) - Groupes classiques et géométrie », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 02 décembre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/groupes-mathematiques-groupes-classiques-et-geometrie/