GROUPES (mathématiques)Généralités
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La structure de groupe
Un groupe G est un ensemble muni d'une loi de composition interne :
(a) Elle est associative, c'est-à-dire que, si a, b, c sont des éléments de G, on a :
(b) Elle admet un élément neutre, c'est-à-dire qu'il existe un élément e ∈ G (nécessairement unique, manifestement) tel que, pour tout a ∈ G :
(c) Tout élément a de G admet un symétrique (en notation multiplicative on dira un inverse), c'est-à-dire qu'il existe un élément de G, noté a-1, tel que :
On ne se préoccupera pas ici de savoir si l'on peut affaiblir ces axiomes en jonglant avec des hypothèses « à droite » et « à gauche » dans (b) et dans (c). Le groupe est dit commutatif, ou abélien, si la loi de composition est commutative, c'est-à-dire a * b = b * a pour tout couple d'éléments de G. Cette loi est alors souvent (mais pas toujours) notée additivement, par le signe + ; l'élément neutre est désigné par 0 et le symétrique d'un élément a est noté − a. C'est le cas, par exemple, pour la loi de groupe sous-jacente à une structure d'anneau ou d'espace vectoriel. On appelle ordre d'un groupe fini G le nombre |G| de ses éléments.
Dans ce qui suit, sauf mention explicite d'une autre notation, la notation multiplicative sera adoptée systématiquement, ce qui signifie que l'on notera x, y, ou plus simplement xy, l'image du couple (x, y) par la loi de composition. L'élément neutre sera désigné par 1. Lorsque plusieurs groupes seront considérés simultanément, le même symbole 1 désignera donc plusieurs objets mathématiques distincts, ce qui paraît en contradiction avec les règles logiques les plus simples (cf. par exemple la formule (2) ci-dessous) ; en fait, cela n'est guère gênant, car le contexte mathématique permet toujours d'éviter toute ambiguïté. Ainsi, dans la formule (2), puisque f est une application de G dans G′, le symbole 1 dans la partie gauche de la formule représente l'élément neutre de G tandis que le 1 de droite représente l'élément neutre de G′.
Remarquons maintenant que, si l'on multiplie à gauche par a-1
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Écrit par :
- Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
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ALGÈBRE
Dans le chapitre « La structure de groupe » : […] La structure de groupe est une des structures algébriques les plus simples et, sans conteste, la plus importante des mathématiques modernes. Son universalité ne s'arrête pas là : le psychologue Piaget a mis en évidence le rôle essentiel joué par cette notion dans les mécanismes mêmes de la pensée, et H. Poincaré a pu dire que la notion de groupe préexiste dans notre esprit car la géométrie ne se c […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/algebre/#i_13366
ALGÉBRIQUES STRUCTURES
Dans le chapitre « Espèce de structure de groupe-gradué de type A » : […] Soit G = (E, l ) un groupe. Une famille de sous-groupes de G est une application f d'un ensemble A dans P (E) telle que, pour tout élément λ de A, ( f (λ), l | f (λ) ) = G λ soit un sous-groupe de G . Une graduation de type A […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/structures-algebriques/#i_13366
BOREL ARMAND (1923-2003)
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BURNSIDE WILLIAM SNOW (1852-1927)
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Dans le chapitre « Une production considérable » : […] La production de Cauchy a été considérable ; même ses contemporains lui reprochaient à juste titre sa hâte inconsidérée à livrer souvent à l'impression des débauches indignes de son génie, et il y a évidemment un déchet non négligeable dans le demi-millier de notes qu'il a publiées aux Comptes rendus de l'Académie des sciences. Il n'en est pas moins vrai que, même en faisant […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/augustin-louis-cauchy/#i_13366
CAYLEY ARTHUR (1821-1895)
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CHAMPS THÉORIE DES
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CHEVALLEY CLAUDE (1909-1984)
Fils d'ambassadeur, né à Johannesburg, Chevalley a fait la plus grande partie de ses études à Paris, où il fut élève de l'École normale supérieure, de 1926 à 1929. Il a enseigné à l'université de Rennes, puis aux États-Unis, aux universités de Princeton et de Columbia (New York). Il termina sa carrière comme professeur et correspondant de l'Académie des sciences à l'université de Paris. Ses travau […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/claude-chevalley/#i_13366
DIEUDONNÉ JEAN (1906-1992)
Les travaux de ce mathématicien français, né le 1 er juillet 1906 à Lille, concernent d'importants domaines de la topologie et de l'algèbre. Depuis 1935, et jusqu'à ces dernières années, Dieudonné a collaboré très activement à l'élaboration des Éléments de mathématique de Nicolas Bourbaki . En 1968, il a été élu à l'Académie des sciences. En topolog […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/jean-dieudonne/#i_13366
FROBENIUS GEORG FERDINAND (1849-1917)
Mathématicien allemand, connu en particulier pour ses travaux en théorie des groupes. Né le 26 octobre 1849 à Charlottenburg, près de Berlin (Prusse), Georg Ferdinand Frobenius était le fils d'un pasteur protestant. Après des études secondaires au lycée Joachimsthal de Berlin, il passe un semestre à l'université de Göttingen puis continue ses études universitaires à Berlin où il profite des cours […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/georg-ferdinand-frobenius/#i_13366
GALOIS ÉVARISTE (1811-1832)
Dans le chapitre « L'œuvre mathématique » : […] En sa croissance ainsi aventureuse, la pensée de Galois s'est librement nourrie des travaux de Lagrange, Gauss, Cauchy, Abel et Jacobi. Dans un mémoire célèbre paru en 1770, Lagrange fait le point des recherches dans le domaine des équations algébriques. Il esquisse une théorie de la transformation des équations et met en évidence l'importance de la notion de permutation. Il retrouve par là les f […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/evariste-galois/#i_13366
GÉNÉRATEUR, mathématique
Soit E un ensemble muni d'une opération interne associative notée par le symbole ∗ et que nous appellerons multiplication pour simplifier. Il sera dit monogène , ou encore posséder un générateur a , si tout élément de E peut s'écrire comme un produit fini de n facteurs tous égaux à a . Par définition d'un pro […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/generateur-mathematique/#i_13366
GÉOMÉTRIE
Dans le chapitre « Transformations et groupes » : […] Le rôle des transformations, en géométrie, ne fut pleinement compris que lorsque Klein leur associa la notion de groupe (cf. groupes [mathématiques] – Groupes classiques et géométrie), introduite par Évariste Galois (1811-1832) en 1830, et diffusée seulement en 1870 par le Traité des substitutions et des équations algébriques de Camille Jordan (1838- […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/geometrie/#i_13366
GROUPES DE GALOIS
L'unique mémoire d'Évariste Galois (1811-1832), Sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux , présenté à l'Académie des sciences en 1831, reçut un avis défavorable de son rapporteur Siméon-Denis Poisson ; pourtant, l'importance de ce travail dans le développement de la théorie des groupes est maintenant universellement reconnue. Galois montrait l'intérêt d'a […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/groupes-de-galois/#i_13366
LIE GROUPES DE
La publication des trois volumes du traité intitulé Theorie der Transformationsgruppen , de 1888 à 1893, synthétise l'apport fondamental du mathématicien norvégien Sophus Lie (1842-1899) à la théorie des groupes. Écrit en collaboration avec Friedrich Engel, cet ouvrage rassemble les nombreux résultats obtenus à partir de 1873 sur les groupes continus de transformation. Dans l […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/groupes-de-lie/#i_13366
HALL PHILIP (1904-1982)
Mathématicien britannique, spécialiste de la théorie des groupes. Né le 11 avril 1904 à Hampstead près de Londres, abandonné par son père dès sa naissance, Philip Hall passe son enfance dans un milieu pauvre et fait ses études élémentaires au Christ's Hospital de Londres. Élève brillant, il est admis au King's College de l'université de Cambridge en octobre 1922. Dans son premier essai sur les iso […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/philip-hall/#i_13366
HIGMAN GRAHAM (1917-2008)
Mathématicien britannique spécialiste de la théorie des groupes né le 19 janvier 1917, mort le 8 avril 2008. Fils d'un pasteur de l'Église anglicane, Graham Higman fait des études secondaires à Plymouth, puis obtient une bourse pour étudier à l'université d'Oxford. Il y accomplit son travail de thèse en mathématiques pures sous la direction d'Henry Whitehead (1904-1960) sur les anneaux de groupes. […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/graham-higman/#i_13366
INVARIANT, mathématique
À l'origine, la notion d'invariant est relative à un changement de repère en géométrie. L'un des premiers exemples concerne les coniques, c'est-à-dire les courbes, dans le plan, données par une équation du second degré ax 2 + 2 bxy + cy 2 + 2 ux + 2 […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/invariant-mathematique/#i_13366
KODAIRA KUNIHIKO (1915-1997)
Né à Tōkyō (Japon), Kodaira Kunihiko fit des études de mathématiques et de physique théorique à l'université de sa ville natale, où il fut ensuite professeur. En 1949, il va enseigner à l'Institute for Advanced Study, puis à l'université de Princeton. En 1954, il obtint la médaille Fields pour sa théorie des intégrales harmoniques et ses applications aux variétés algébriques. Ses premiers travaux […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/kodaira/#i_13366
LIE SOPHUS (1842-1899)
Dans le chapitre « L'œuvre de Lie » : […] La vocation mathématique de Sophus Lie, né à Nordfjordeid en 1842, ne se révéla qu'assez tard, à la lecture en 1865 des travaux de Julius Plücker sur les complexes de droites. Sa rencontre à Berlin avec le jeune Félix Klein (1849-1925), en 1869, allait être le début d'une longue et fructueuse amitié. Les deux mathématiciens viennent à Paris et découvrent les travaux de Galois et de Jordan qui all […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/sophus-lie/#i_13366
MALTSEV ANATOLI IVANOVITCH (1909-1967)
Mathématicien soviétique, célèbre pour ses travaux en logique et en algèbre. Les premiers écrits de Maltsev contiennent les idées essentielles d'une bonne partie de son œuvre. Dans son premier et plus célèbre article, Untersuchungen aus dem Gebiete der Mathematischen Logik , 1936, Maltsev démontre la version la plus générale (aucune restriction de cardinalité) du théorème de […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/anatoli-ivanovitch-maltsev/#i_13366
MODÈLES THÉORIE DES
Dans le chapitre « Théorie des modèles et algèbre traditionnelle » : […] Il devrait être maintenant clair que les débuts de la théorie des modèles sont assez voisins de l'algèbre générale. Il n'est donc pas étonnant qu'il y ait eu de nombreuses applications de cette théorie à des problèmes purement algébriques. Il faut cependant dire que les premières applications « essentielles » de la théorie des modèles à l'algèbre datent de la fin des années cinquante. Jusque-là, l […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/theorie-des-modeles/#i_13366
NICOLAS BOURBAKI (A. Aczel)
Sous-titré « Histoire d'un génie des mathématiques qui n'a jamais existé », le livre (éd. J.-C. Lattès, Paris, 2009) qu'Amir Aczel – chercheur au Centre d'histoire des sciences de l'université de Boston (États-Unis) – consacre au groupe Bourbaki et à son influence sur les mathématiques du xx e siècle est un hommage objectif et fort documenté aux […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nicolas-bourbaki/#i_13366
OBJET UNIVERSEL, mathématique
Des objets universels apparaissent dans de multiples contextes mathématiques, mais l'idée de base est commune : un objet universel est un objet à partir duquel tous les autres membres de la famille considérée peuvent se reconstruire. Par conséquent, un objet universel est, quand il existe, le plus grand, le plus général de la famille. L'existence d'un tel objet permet d'économiser des démonstratio […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/objet-universel-mathematique/#i_13366
PONTRIAGUINE LEV SEMENOVITCH (1908-1988)
Mathématicien russe, membre de l'Académie des sciences (1958), Prix Staline (1941), Prix Lénine (1962). Né à Moscou, Pontriaguine perd la vue à quatorze ans et achève néanmoins ses études à l'université de Moscou en 1929. Ses travaux concernent essentiellement la topologie et les groupes topologiques. En 1932, il découvre la loi générale de dualité, qui affirme que le dual du dual d'un groupe comm […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/lev-semenovitch-pontriaguine/#i_13366
RAMAN EFFET
Dans le chapitre « Symétrie des vibrations et théorie des groupes » : […] Si les variations du moment électrique et de la polarisabilité paraissent intuitivement accessibles pour des molécules di- ou triatomiques, il n'en est pas de même pour des édifices polyatomiques à grand nombre d'atomes, les plus intéressants de nos jours en chimie ou en biologie. Une méthode très élégante permet de tourner cette difficulté, en se fondant uniquement sur les propriétés de symétrie […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/effet-raman/#i_13366
RÉFLEXIONS SUR LA RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS (J. L. Lagrange)
Joseph Louis Lagrange (1736-1813) publie en 1770 les Réflexions sur la résolution algébrique des équations dans les Mémoires de l'Académie royale des sciences et belles-lettres de Berlin , Académie où il avait succédé à Leonhard Euler comme directeur des mathématiques. Ce texte commence par un hommage appuyé aux travaux des fondateurs de l'analyse : « […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/reflexions-sur-la-resolution-algebrique-des-equations/#i_13366
SCHUR ISSAÏ (1875-1941)
Mathématicien allemand d'origine russe, né à Mohilev et mort à Tel-Aviv. Issaï Schur fit ses études secondaires à Libau (Lettonie) et ses études supérieures à l'université de Berlin, où il fut l'élève de Frobenius. Il enseigna à Bonn de 1911 à 1916, puis à Berlin, jusqu'au moment où les lois raciales l'obligèrent à abandonner sa chaire, en 1935 ; il put émigrer, en 1939, en Palestine, où il devait […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/issai-schur/#i_13366
SYMÉTRIES, physique
Dans le chapitre « LES SYMÉTRIES BRISÉES » : […] Lorsqu'un problème physique admet une symétrie décrite mathématiquement par un groupe G, chaque solution n'est pas forcément invariante par G. En fait, c'est plutôt l'ensemble des solutions qui est invariant par G. Un exemple classique est la cristallisation d'un liquide. Lorsque la température décroît, l'isotropie (c'est-à-dire l'équivalence de toutes les directions) de l'ensemble des atomes dis […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/symetries-physique/#i_13366
THOMPSON JOHN GRIGGS (1932- )
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TITS JACQUES (1930- )
Mathématicien français d'origine belge, né le 12 août 1930 à Uccle, dans la banlieue de Bruxelles, lauréat du prix Abel en 2008. Très jeune, Jacques Tits lit les ouvrages mathématiques de la bibliothèque de son père mathématicien, qui meurt alors que Jacques n'a que treize ans. Il donne alors des cours particuliers à des élèves ayant quatre ans de plus que lui et préparant Polytechnique. À quator […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/jacques-tits/#i_13366
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WEBER HEINRICH MARTIN (1842-1913)
Universalité. C'est le mot qui caractérise peut-être le mieux le mathématicien allemand Heinrich Weber. Esprit souple, il était capable de travailler dans des domaines très divers des mathématiques. Mais il concentra surtout ses recherches sur l'analyse et ses applications à la physique mathématique et obtint ses résultats les plus profonds en algèbre et en théorie des nombres. Né le 5 mai 1842 à […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/heinrich-martin-weber/#i_13366
WIGNER EUGENE PAUL (1902-1994)
Physicien théoricien américain d'origine hongroise (il est né le 17 novembre 1902 à Budapest), professeur à Princeton, Prix Nobel de physique en 1963 (avec M. Goeppert-Mayer et H. D. Jensen), auteur de contributions fondamentales à la physique mathématique et à la mécanique quantique en général, à la théorie du solide, à la physique nucléaire et à la physique des particules élémentaires en partic […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/eugene-paul-wigner/#i_13366
ZELMANOV EFIM ISAAKOVITCH (1955- )
Mathématicien russe, lauréat de la médaille Fields en 1994 pour ses travaux en théorie des groupes. Né le 7 septembre 1955 à Khabarovsk (Russie), Efim Isaakovitch Zelmanov fait ses études supérieures à l'université de Leningrad, puis à celle de Novosibirsk où il soutient sa thèse de doctorat en 1980. Membre de l'institut de mathématiques de l'Académie des sciences de l'U.R.S.S. à Novosibirsk jusqu […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/efim-isaakovitch-zelmanov/#i_13366
Voir aussi
Pour citer l’article
Jean-Luc VERLEY,
« GROUPES (mathématiques) -