GROUPES (mathématiques)Généralités

La structure de groupe

Un groupe G est un ensemble muni d'une loi de composition interne :

qui possède les propriétés suivantes :

(a) Elle est associative, c'est-à-dire que, si a, b, c sont des éléments de G, on a :

(b) Elle admet un élément neutre, c'est-à-dire qu'il existe un élément e ∈ G (nécessairement unique, manifestement) tel que, pour tout a ∈ G :

(c) Tout élément a de G admet un symétrique (en notation multiplicative on dira un inverse), c'est-à-dire qu'il existe un élément de G, noté a^-1, tel que :

On ne se préoccupera pas ici de savoir si l'on peut affaiblir ces axiomes en jonglant avec des hypothèses « à droite » et « à gauche » dans (b) et dans (c). Le groupe est dit commutatif, ou abélien, si la loi de composition est commutative, c'est-à-dire a _* b = b _* a pour tout couple d'éléments de G. Cette loi est alors souvent (mais pas toujours) notée additivement, par le signe + ; l'élément neutre est désigné par 0 et le symétrique d'un élément a est noté − a. C'est le cas, par exemple, pour la loi de groupe sous-jacente à une structure d'anneau ou d'espace vectoriel. On appelle ordre d'un groupe fini G le nombre |G| de ses éléments.

Dans ce qui suit, sauf mention explicite d'une autre notation, la notation multiplicative sera adoptée systématiquement, ce qui signifie que l'on notera x, y, ou plus simplement xy, l'image du couple (x, y) par la loi de composition. L'élément neutre sera désigné par 1. Lorsque plusieurs groupes seront considérés simultanément, le même symbole 1 désignera donc plusieurs objets mathématiques distincts, ce qui paraît en contradiction avec les règles logiques les plus simples (cf. par exemple la formule (2) ci-dessous) ; en fait, cela n'est guère gênant, car le contexte mathématique permet toujours d'éviter toute ambiguïté. Ainsi, dans la formule (2), puisque f est une application de G dans G′, le symbole 1 dans la partie gauche de la formule représente l'élément neutre de G tandis que le 1 de droite représente l'élément neutre de G′.

Remarquons maintenant que, si l'on multiplie à gauche par a^-1 les deux membres de l'égalité ax = ay, on obtient, en applicant l'associativité, 1x = 1y, d'où x = y. On a ainsi obtenu la règle de simplification dans un groupe : si a, x, y sont des éléments d'un groupe, on a les équivalences :

Une démonstration tout à fait analogue montre que, dans un groupe, les équations linéaires, du type ax = b, ou xa = b, ont toujours une solution unique ; par multiplication à gauche par a^-1, on obtient par exemple que la première a pour solution x = a^-1b.

Si x est un élément d'un groupe G et n un entier positif, on notera xⁿ le produit de n éléments égaux à x, et x^-n le produit de n éléments égaux à x^-1. L'élément x⁰ étant par définition l'élément neutre, on a donc défini xⁿ pour tout entier relatif n et on vérifie facilement que deux puissances quelconques d'un même élément commutent toujours et que :

en notation additive on écrit nx au lieu de xⁿ.

Morphismes

Conformément aux définitions générales pour les structures algébriques, on dit qu'une application f d'un groupe G dans un groupe G′ est un morphisme, ou un homomorphisme, de groupe si on a :

pour tout couple d'éléments de G. Par exemple, le logarithme usuel réalise un homomorphisme du groupe multiplicatif R*₊ des nombres réels strictement positifs sur le groupe additif de tous les nombres réels, car :bien entendu, il faut, quand les deux groupes ne sont pas tous les deux notés multiplicativement, adapter les notations de la condition (1). Un morphisme bijectif est appelé un isomorphisme ; c'est le cas du logarithme qui réalise un isomorphisme du groupe multiplicatif R*₊ sur le groupe additif R. Dans le cadre de la théorie des groupes, il n'y a pas lieu de distinguer des groupes isomorphes, et on parlera parfois (par abus de langage) de réalisation d'un même groupe pour désigner des groupes isomorphes. Remarquons enfin que, si on prend pour y l'élément neutre de G dans (1), on obtient, après simplification :qui montre que tout morphisme de G dans G′ transforme l'élément neutre de G en l'élément neutre de G′. Les groupes, et leurs morphismes, forment un exemple très simple de catégorie.

Sous-groupes

Une partie non vide H d'un groupe G est un sous-groupe si le composé de deux éléments de H est encore un élément de H et si H est un groupe pour la loi de composition ainsi définie ; on vé [...]

1  2  3  4  5 …
pour nos abonnés,
l’article se compose de 10 pages