GROUPES (mathématiques)Généralités

La structure de groupe

Un groupe G est un ensemble muni d'une loi de composition interne :

qui possède les propriétés suivantes :

(a) Elle est associative, c'est-à-dire que, si a, b, c sont des éléments de G, on a :

(b) Elle admet un élément neutre, c'est-à-dire qu'il existe un élément e ∈ G (nécessairement unique, manifestement) tel que, pour tout a ∈ G :

(c) Tout élément a de G admet un symétrique (en notation multiplicative on dira un inverse), c'est-à-dire qu'il existe un élément de G, noté a^-1, tel que :

On ne se préoccupera pas ici de savoir si l'on peut affaiblir ces axiomes en jonglant avec des hypothèses « à droite » et « à gauche » dans (b) et dans (c). Le groupe est dit commutatif, ou abélien, si la loi de composition est commutative, c'est-à-dire a _* b = b _* a pour tout couple d'éléments de G. Cette loi est alors souvent (mais pas toujours) notée additivement, par le signe + ; l'élément neutre est désigné par 0 et le symétrique d'un élément a est noté − a. C'est le cas, par exemple, pour la loi de groupe sous-jacente à une structure d'anneau ou d'espace vectoriel. On appelle ordre d'un groupe fini G le nombre |G| de ses éléments.

Dans ce qui suit, sauf mention explicite d'une autre notation, la notation multiplicative sera adoptée systématiquement, ce qui signifie que l'on notera x, y, ou plus simplement xy, l'image du couple (x, y) par la loi de composition. L'élément neutre sera désigné par 1. Lorsque plusieurs groupes seront considérés simultanément, le même symbole 1 désignera donc plusieurs objets mathématiques distincts, ce qui paraît en contradiction avec les règles logiques les plus simples (cf. par exemple la formule (2) ci-dessous) ; en fait, cela n'est guère gênant, car le contexte mathématique permet toujours d'éviter toute ambiguïté. Ainsi, dans la formule (2), puisque f est une application de G dans G′, le symbole 1 dans la partie gauche de la formule représente l'élément neutre de G tandis que le 1 de droite représente l'élément neutre de G′.

Remarquons maintenant que, si l'on multiplie à gauche par a^-1

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