GALOIS GROUPE DE
GROUPES DE GALOIS
L'unique mémoire d'Évariste Galois (1811-1832), Sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux, présenté à l'Académie des sciences en 1831, reçut un avis défavorable de son rapporteur Siméon-Denis Poisson ; pourtant, l'importance de ce travail dans le développement de la théorie des groupes est maintenant universell […] […] Lire la suite
ARTIN EMIL (1898-1962)
Dans le chapitre « Corps de nombres algébriques et théorie du corps de classe » : […] Emil Artin est né le 3 mars 1898 à Vienne. La décennie de 1921 à 1931 constitue une période d'intense activité créatrice où Artin fait les principales découvertes qui l'ont rendu célèbre ; grâce à lui, l'université de Hambourg, la plus jeune d'Allemagne, se place alors au premier rang pour les mathématiques. Fuyant le régime nazi, Artin et sa famille émigrent aux États-Unis en 1937 ; professeur à […] […] Lire la suite
CORPS, mathématiques
Dans le chapitre « Corps finis » : […] Une application intéressante de la théorie de Galois est l'étude et la classification des corps finis. Soit donc F un groupe fini possédant q = p n éléments (cf. chap. 1). Le groupe multiplicatif des éléments non nuls de F est d'ordre q − 1, donc tout élément de ce groupe vérifie x q-1 − 1 = 0 et, par suite, tout élément de F vérifie : Comme il est clair que les racines de P n (X) dans une c […] […] Lire la suite
GALOIS ÉVARISTE (1811-1832)
Dans le chapitre « Groupe de Galois » : […] Galois reprend le problème où l'avait laissé Niels Abel, dont les mémoires ne lui sont que tardivement connus. Il éclaircit sa notion de quantité rationnelle par rapport à d'autres quantités, parvenant à une notion très proche de celle de corps engendré par un ensemble fini de nombres algébriques. Il démontre – ce qu'Abel avait affirmé – que le corps engendré par les racines d'une équation algéb […] […] Lire la suite
HILBERT DAVID (1862-1943)
Dans le chapitre « Théorie des nombres » : […] Après avoir ainsi clos de manière si complète la théorie des invariants, Hilbert se tourne vers la théorie des nombres algébriques. Sa première contribution importante est la théorie des corps de Galois relatifs K sur un corps donné k de nombres algébriques, dans lequel il décrit, à partir des propriétés du groupe de Galois de K sur k , la manière dont les idéaux premiers de k se décomposent da […] […] Lire la suite
INVARIANT, mathématique
À l'origine, la notion d'invariant est relative à un changement de repère en géométrie. L'un des premiers exemples concerne les coniques, c'est-à-dire les courbes, dans le plan, données par une équation du second degré ax 2 + 2 bxy + cy 2 + 2 ux + 2 vy + w = 0. Comment reconnaître sur leurs coefficients a , b , c , u , v , w et a ', b ', c ', u ', v ', w ' si deux telles équations représent […] […] Lire la suite
KRULL WOLFGANG (1899-1970)
Mathématicien allemand né à Baden-Baden et mort à Bonn. Wolfgang Krull a formé, avec E. Artin et E. Noether, l'école allemande qui, à partir de 1920, a rénové l'algèbre en mettant systématiquement à la base de cette partie des mathématiques les notions de structure algébrique : groupes, anneaux, corps, idéaux, modules, etc. Ses travaux ont surtout porté sur l'algèbre commutative ; on lui doit la d […] […] Lire la suite
NOMBRES (THÉORIE DES) Nombres algébriques
Dans le chapitre « Corps de classes » : […] La difficile théorie du corps de classes tire son origine de plusieurs résultats établis au cours du xix e siècle. Nous avons vu que Gauss avait associé, à tout nombre premier impair p , une somme : corps des racines p -ièmes de 1, dont le carré est (− 1) ( p −1)/2 p ; le sous-corps de Q ( r ) engendré par la somme de Gauss est donc isomorphe au corps quadratique Q ( (− 1) ( p− 1)/2 p ). Kronec […] […] Lire la suite