GROUPE COMMUTATIF ou GROUPE ABÉLIEN

ALGÈBRE

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 7 218 mots

Dans le chapitre « La structure de groupe »  : […] La structure de groupe est une des structures algébriques les plus simples et, sans conteste, la plus importante des mathématiques modernes. Son universalité ne s'arrête pas là : le psychologue Piaget a mis en évidence le rôle essentiel joué par cette notion dans les mécanismes mêmes de la pensée, et H. Poincaré a pu dire que la notion de groupe préexiste dans notre esprit car la géométrie ne se c […] Lire la suite

ALGÉBRIQUES STRUCTURES

  • Écrit par 
  • Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
  •  • 34 159 mots

Dans le chapitre « Espèces de structures de magma et espèces de structures plus riches »  : […] Un magma peut être défini indifféremment comme un couple (E,  l ) tel que E soit un ensemble et l une loi de composition interne dans E, ou comme un magmoïde (E, λ) = (E, (M, E,  S λ )) tel que M = E×E. Soient M  = (E,  l ) = (E, (E×E, E,  S l )) un magma et A une partie de E. Si A est stable pour la loi de composition l , c'est-à-dire si ∀ ( x ,  y ), ( x ,  y ) ∈ A ⇒  l  (( x ,  y )) ∈ A, l'a […] Lire la suite

GROUPES (mathématiques) - Généralités

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 6 229 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « La structure de groupe »  : […] Un groupe G est un ensemble muni d'une loi de composition interne : qui possède les propriétés suivantes : (a) Elle est associative , c'est-à-dire que, si a , b , c sont des éléments de G, on a : (b) Elle admet un élément neutre , c'est-à-dire qu'il existe un élément e  ∈ G (nécessairement unique, manifestement) tel que, pour tout a  ∈ G : (c) Tout élément a de G admet un symétrique (en notation […] Lire la suite

GROUPES (mathématiques) - Groupes de Lie

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 10 813 mots
  •  • 2 médias

Dans le chapitre « La structure des groupes de Lie généraux »  : […] Un groupe de Lie (appelé aussi groupe de Lie réel ) est, par définition, une variété analytique réelle G (dite sous-jacente au groupe), munie d'une loi de composition ( x , y)  ↦  xy pour laquelle G est un groupe, et qui est telle que l'application ( x , y ) ↦  xy -1 de G × G dans G soit analytique. Une variété analytique complexe G munie d'une loi de composition ( x ,  y ) ↦  xy pour laquelle G […] Lire la suite

HARMONIQUE ANALYSE

  • Écrit par 
  • René SPECTOR
  •  • 5 770 mots

Dans le chapitre « Le théorème de dualité de Pontriaguine et Van Kampen »  : […] Soit G un groupe commutatif localement compact ; l'opération de G est notée additivement, 0 désigne l'élément neutre. On appelle caractère de G tout homomorphisme continu de G dans le groupe multiplicatif des nombres complexes de module 1. Autrement dit, un caractère est une fonction continue γ sur G, telle que, quels que soient x et y dans G : on en déduit, évidemment : Si γ et γ′ sont deux ca […] Lire la suite

SHIMURA-TANIYAMA-WEIL CONJECTURE DE

  • Écrit par 
  • Christophe BREUIL
  •  • 4 572 mots

Dans le chapitre « Loi de groupe commutatif »  : […] Soit E une courbe elliptique définie sur ℚ, c'est-à-dire la donnée d'une équation comme en (2) avec X 3  +  A X +  B  = 0 sans racine double. Il est remarquable que l'ensemble des solutions de (2) dans un corps contenant ℚ est alors naturellement muni d'une structure de groupe commutatif. Expliquons ce fait pour le corps ℝ. Notons E (ℝ) l'ensemble des solutions (X, Y) de (2) dans ℝ×ℝ. En fait, i […] Lire la suite