CANTOR GEORG (1845-1918)

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L’invention du transfini

Dans une suite de mémoires publiés de 1878 et à 1891, Cantor généralise à l’infiniment grand la notion de nombre entier fini et construit une arithmétique dont les règles spécifiques diffèrent partiellement de celles des nombres finis. Le premier acte en est l’affirmation fondamentale qu’il y a « après le fini, un transfini […], c’est-à-dire une échelle illimitée de modes déterminés qui par nature ne sont pas finis, mais infinis, et qui cependant peuvent être précisés, tout comme le fini, par des nombres déterminés, bien définis et distinguables les uns des autres ». C’est bien la première fois que l’on parle de « nombres infinis », les nombres des ensembles infinis en acte. Cela provoque l’opposition ou la méfiance de nombreux mathématiciens, au premier rang desquels Kronecker. Cantor en pâtit, mais ne renonce pas : il définit la notion de « puissance » d’un ensemble infini, qu’il identifie finalement à celle de nombre cardinal. Le nombre cardinal correspond à l’opération de comptage, indifférente à l’ordre dans lequel on compte les différents éléments, tandis que le nombre ordinal correspond à l’énumération ou numérotation d’une suite d’éléments. Les deux notions sont confondues pour une collection finie, le dernier élément énuméré marquant aussi le nombre cardinal de la collection. Mais elles se distinguent dans l’infini. Montrons-le par des exemples simples. Soient les trois ensembles E = {1, 2, 3, 4,…}, F = {2, 3, 4,…, 1} et G = {1, 3, 5,…, 2, 4, 6,…}. Ces trois ensembles ont le même cardinal transfini, celui de l’ensemble dénombrable N, mais des ordinaux transfinis différents, respectivement : , + 1, + . En revanche, les ensembles H = {1, 2, 3, 4,…} et J = {2, 1, 4, 3,…}, dont les éléments n’apparaissent pas dans le même ordre, ont cependant le même nombre ordinal, c’est-à-dire le même « type d’ordre » et, bien sûr, le même nombre cardinal dénombrable. Ce qui est identique en H et J, ce n’est pas l’ordre, mais l’énumération, qui est du même type que celle de N, abstraction faite de quel élément concret occupe la première place, quel é [...]

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  • : directrice de recherche émérite, ancienne élève de l'École normale supérieure, docteure ès lettres

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Pour citer l’article

Hourya BENIS-SINACEUR, « CANTOR GEORG - (1845-1918) », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 24 juillet 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/georg-cantor/