GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES

AXIOMATIQUE

  • Écrit par 
  • Georges GLAESER
  •  • 2 042 mots

Dans le chapitre « Origines de l'axiomatique mathématique »  : […] L'axiomatique considérée comme mode idéal de rédaction d'un traité scientifique est une conception de la mathématique grecque : les Éléments d' Euclide constituent, à cette époque ( iii e  s. av. J.-C.), la tentative la plus audacieuse de réaliser cet idéal. L'exécution de ce vaste programme laisse cependant bien à désirer. Ainsi, dès la première démonstration des Éléments , Euclide, traçant deux […] Lire la suite

BOLYAI JÁNOS (1802-1860)

  • Écrit par 
  • Jacques MEYER
  •  • 218 mots

S'intéressant aux mathématiques, János Bolyai y consacra les loisirs que lui laissait son métier d'officier du génie sous l'impulsion de son père Farkas Bolyai (1775-1856), professeur de mathématiques et ancien condisciple de Gauss, avec qui il entretenait une correspondance sur les fondements de la géométrie. À l'âge de vingt deux ans, János Bolyai travailla à la construction d'une géométrie dans […] Lire la suite

CLIFFORD WILLIAM KINGDON (1845-1879)

  • Écrit par 
  • Universalis
  •  • 416 mots

Mathématicien et philosophe qui a élaboré la théorie des biquaternions (généralisation de la théorie des quaternions du mathématicien irlandais sir William Rowan Hamilton) et l'a rattachée à des algèbres associatives plus générales. En 1871, Clifford fut nommé professeur de mathématiques au collège de l'université de Londres et fut élu trois ans plus tard membre de la Royal Society. Sous l'influen […] Lire la suite

CONVENTIONNALISME, mathématique

  • Écrit par 
  • Gerhard HEINZMANN
  •  • 1 053 mots

Selon Kant, les jugements mathématiques ne sont ni analytiques et nécessaires, ni synthétiques et contingents. Ils sont synthétiques et a priori. Le conventionnalisme mathématique est une conception philosophique qui abandonne le caractère synthétique a priori des jugements géométriques. En effet, l'existence de plusieurs géométries possibles met en péril la solution kantienne. Si la négation de […] Lire la suite

COSMOLOGIE

  • Écrit par 
  • Marc LACHIÈZE-REY
  •  • 9 326 mots
  •  • 6 médias

Dans le chapitre « L'Univers de la relativité générale »  : […] La relativité générale joue un rôle encore plus fondamental que la relativité restreinte, car elle permet de concevoir une géométrie propre de l'Univers. Dans la physique non relativiste, la géométrie est très simple (elle est dite euclidienne : c'est celle que nous apprenons à l'école, où les parallèles existent et ne se rencontrent jamais, où l'on ne revient jamais à son point de départ en alla […] Lire la suite

DÉMONSTRATION (notions de base)

  • Écrit par 
  • Philippe GRANAROLO
  •  • 3 087 mots

Dans le chapitre « Les logiques du possible »  : […] Au cours des deux derniers siècles, de nouvelles logiques très sophistiquées ont vu le jour, qui reposent non plus sur des énoncés mais sur des ensembles, des tables de vérité, etc. Présentées comme les Éléments d’Euclide sous forme « axiomatique » (hypothèses initiales suivies d’une suite de propositions démontrées), elles rendent problématique la différence qui existait jusqu’alors entre logiqu […] Lire la suite

ESPACE, mathématique

  • Écrit par 
  • Jean-Marc SCHLENKER
  •  • 1 669 mots

Dans le chapitre « De la géométrie projective aux espaces symétriques »  : […] À la Renaissance, l'invention de la perspective, par des peintres comme Piero della Francesca (1410-1492), Léonard de Vinci (1452-1519) ou Albrecht Dürer (1471-1528), conduit à étudier les projections sur un plan, depuis un point usuel ou « à l'infini ». Les notions qui émergent alors sont formalisées en 1636 par Girard Desargues, dans le cadre nouveau de la géométrie projective. Desargues ajoute […] Lire la suite

FONCTIONS ANALYTIQUES - Représentation conforme

  • Écrit par 
  • Christian HOUZEL
  •  • 5 475 mots
  •  • 10 médias

Dans le chapitre « Le problème de la représentation conforme »  : […] Étant donné des domaines D et D′ du plan, sont-ils conformément équivalents ? Dans l'affirmative, il s'agira de construire, au moins d'une manière approchée, une représentation conforme de D sur D′. Ce problème a des applications en diverses questions de physique (par exemple en hydrodynamique), car il permet de résoudre certains problèmes de Dirichlet : pour trouver une fonction harmonique u , co […] Lire la suite

GAUSS CARL FRIEDRICH (1777-1855)

  • Écrit par 
  • Pierre COSTABEL, 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 4 922 mots

Dans le chapitre « La notion d'espace »  : […] Gauss n'est pas moins novateur en géométrie que dans les autres branches des mathématiques. Ses réflexions sur les fondements de la géométrie, et notamment sur les tentatives variées pour démontrer le postulat d'Euclide sur les parallèles, débutent dès sa vingtième année ; elles devaient se poursuivre durant une longue période, mais nous savons par sa correspondance que, dès 1816 (soit quinze ans […] Lire la suite

GÉOMÉTRIE

  • Écrit par 
  • François RUSSO
  •  • 10 634 mots
  •  • 4 médias

Dans le chapitre « Les géométries non euclidiennes »  : […] Jusqu'au début du xviii e  siècle, le problème posé par le postulat des parallèles fut envisagé dans la même perspective : le postulat n'est pas une évidence première, mais une vérité qu'on doit pouvoir démontrer. La plupart des démonstrations se fondent sur la définition de la parallèle comme droite équidistante à une droite donnée, définition que l'on ne trouve pas dans les Éléments d'Euclide, […] Lire la suite

GROUPES (mathématiques) - Groupes classiques et géométrie

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 8 863 mots
  •  • 3 médias

Dans le chapitre « Géométries non euclidiennes »  : […] Soit Φ une forme bilinéaire symétrique de signature ( n  − 1, 1) sur E, et soit F la partie de l'espace projectif P (E) correspondant aux vecteurs x  ∈ E tels que Φ( x ,  x )  […] Lire la suite

LOBATCHEVSKI NIKOLAÏ IVANOVITCH (1792-1856)

  • Écrit par 
  • Jacques MEYER
  •  • 333 mots

Mathématicien russe né à Nijni-Novgorod et mort à Kazan. Nikolaï I. Lobatchevski étudia à l'université de Kazan, où il enseigna à partir de 1812 et occupa la chaire de mathématiques pures de 1822 à 1846. Sous l'influence de Carl F. Gauss et du marquis de Laplace, ses premiers travaux sont : Théorie du mouvement elliptique des corps célestes (1812) et De la solution de l'équation algébrique du typ […] Lire la suite

RÉALITÉ CONCEPT DE

  • Écrit par 
  • Jean HAMBURGER
  •  • 4 338 mots

Dans le chapitre « Césures »  : […] Empruntant à la poésie le mot qui signifie démarcation entre deux hémistiches d'un même vers, j'ai proposé de nommer césure ce qui peut séparer les images d'un même objet étudié par deux méthodes scientifiques distinctes. Jusqu'à ces dernières années, on avait toujours admis implicitement la non-discontinuité de ces images. On n'imaginait pas qu'une pierre, un tissu vivant ou les phénomènes de la […] Lire la suite

VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES

  • Écrit par 
  • Claude MORLET
  •  • 10 344 mots
  •  • 7 médias

Dans le chapitre « Les géométries non euclidiennes »  : […] Les géométries non euclidiennes sont l'un des exemples les plus classiques et les plus importants de variétés riemanniennes. Rappelons la construction des géométries de dimension 2 en donnant quelques exemples. Considérons un mathématicien qui veut récrire la géométrie élémentaire en observant une variété riemannienne V de dimension 2. Il est en présence d'un ensemble de points et il peut mesurer […] Lire la suite