GÉOMÉTRIE

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La géométrie classique

La synthèse euclidienne

On rencontre déjà en Égypte ancienne, à côté d'une pratique géométrique, un début de science géométrique, comprenant notamment diverses propositions sur les propriétés du triangle et du cercle. Plus tard, en Grèce, principalement avec Thalès au vie siècle avant J.-C., Pythagore et Hippocrate de Khios au ve siècle, Eudoxe au ive siècle, un nombre appréciable de résultats géométriques sont obtenus : inscription de sphères dans un cône, similitude des triangles, principales propriétés du cercle, polygones et polyèdres réguliers, sections coniques. Utilisant ces données et les complétant, Euclide (fin du ive siècle av. J.-C.) réalise avec ses Éléments la première synthèse de la géométrie.

Pythagore

Photographie : Pythagore

Le Grec Pythagore (580 av. J.-C. env.-env. 500 av. J.-C.), philosophe et mathématicien, n'a laissé aucun écrit et n'est connu que par la tradition orale. 

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Euclide - Alexandrie (Égypte)

Photographie : Euclide - Alexandrie (Égypte)

Euclide (env. IVe-IIIe s. av. J.-C.) enseignait la géométrie à Alexandrie. Son œuvre a représenté, pendant plus de deux millénaires, un modèle d'exposition déductive d'une science exacte à partir de quelques définitions et propriétés admises sans démonstration. Son effort... 

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En fait, les Éléments comportent, à côté de la géométrie proprement dite, d'importants chapitres qui n'en relèvent aucunement (nombres entiers, nombres irrationnels, proportions, équations du premier et du second degré), ou qui n'en relèvent pas au sens restreint retenu ici pour la géométrie, savoir la détermination des surfaces et des volumes.

Outre leur caractère organique, les Éléments ont ceci de remarquable que leur auteur a le souci de « fonder » la géométrie : ils débutent par une série d'énoncés de base, à partir desquels sont déduites toutes les autres propositions. Une telle innovation procède essentiellement des préoccupations et de l'œuvre logique d'Aristote.

Ces énoncés se répartissent en trois catégories : des définitions (point, ligne droite, surface, angles...), des vérités considérées comme évidentes, et, de ce fait, n'appelant pas de démonstration (deux grandeurs égales à une même grandeur sont égales entre elles, le tout est plus grand que la partie...), des demandes ou postulats, vérités non évidentes par elles-mêmes, que l'on ne sait pas démontrer, mais dont on a besoin du fait que les théorèmes que l'on en déduit apparaissent vérifiés concrètement.

La plus importante et la plus célèbre de ces demandes est le postulat des parallèles qui affirme – à la formulation près – que, par un point situé hors d'une droite, on peut mener une droite et une seule qui ne la rencontre pas, cette droite étant dite parallèle.

Une autre demande de grande portée, que l'on trouve seulement dans le corps de l'ouvrage, est le postulat dit d'Archimède, qualifié aujourd'hui de postulat de continuité : Deux points A et B étant donnés sur une droite, si, à partir de A, l'on met à la suite des segments de même longueur, on dépassera le point B après une série finie de telles opérations, si petite que soit cette longueur.

Il existe en réalité une certaine hésitation chez Euclide et ses successeurs quant à la nature exacte de ces « demandes ». Les uns estiment qu'elles sont suffisamment évidentes pour n'avoir pas à être démontrées. D'autres, au contraire, pensent que l'on doit pouvoir les démontrer et que la géométrie ne sera vraiment satisfaisante que lorsque l'on y sera parvenu. C'est cette dernière opinion qui l'emporta, donnant lieu aux tentatives infructueuses de démonstration qui occupèrent tant de géomètres jusqu'à la naissance des géométries non euclidiennes.

En dehors du postulat des parallèles, la géométrie euclidienne a été longtemps considérée comme le modèle même d'une connaissance vraie et rigoureuse. Aujourd'hui, ses fondements se révèlent, à bien des égards, très peu assurés. Les définitions d'Euclide ne sont pas de vraies définitions, mais plutôt des descriptions d'intuitions ; elles utilisent des concepts qui sont considérés comme premiers, alors qu'ils demandent eux-mêmes à être définis. Tel est le cas des définitions du point comme ce qui n'a pas de partie, de la ligne comme longueur sans largeur, de la ligne droite comme celle qui est située semblablement par rapport à tous ses points, de l'angle plan comme l'inclinaison mutuelle de deux lignes qui se rencontrent dans un plan et qui ont des directions différentes.

C'est seulement à la fin du xixe siècle, surtout avec David Hilbert (1862-1943), dans Principes fondamentaux de la géométrie (Grundlagen der Geometrie, 1899) que la géométrie euclidienne est fondée de façon satisfaisante par une démarche dégagée de toute intuition sensible, et Hilbert démontre – préoccupation étrangère à Euclide – que les axiomes retenus sont indépendants et qu'ils ne conduisent pas à des contradictions. Ensuite, des mathématiciens, tel Gustave Choquet dans L'Enseignement de la géométrie (1964), ont exposé la géométrie euclidienne sous une forme élémentaire mais rigoureuse.

La présentation moderne des axiomes de la géométrie euclidienne offre, en plus de sa rigueur logique, la supériorité sur celle d'Euclide de faire apparaître ce que Georges Bouligand a appelé la « causalité » des propositions : on est en mesure de désigner les axiomes qu'utilise une proposition donnée, certaines propositions ne faisant pas appel à l'ensemble des axiomes. Ainsi, en abandonnant le postulat des parallèles on obtient des propositions qui sont valables aussi dans les géométries non euclidiennes, et l'on peut construire des géométries « non archimédiennes » où le postulat d'Archimède n'est pas vérifié. C'est dans cette perspective que se situe la conception des géométries subordonnées de Klein dont il est question plus loin.

La sphère

La géométrie de la sphère, principalement pour les besoins de l'astronomie, devait être particulièrement développée dès l'Antiquité grecque. Elle constitue, jusqu'au début des Temps modernes, un savoir assez autonome par rapport aux autres aspects de la géométrie. Très tôt, même avant les Grecs, furent étudiés dans le cercle et la sphère les rapports entre les cordes et les angles. Dans les Sphériques, Menelaüs d'Alexandrie (ier siècle apr. J.-C.) démontre un important théorème, valable non seulement pour les triangles sphériques, mais aussi pour les triangles plans : Si un triangle sphérique (resp. un plan) est coupé par un grand cercle (resp. une droite), les trois points d'intersection L, M, N, sont tels que les produits des sinus des arcs (resp. les segments) sans points communs sont égaux aux produits des trois autres. À partir de ces résultats prendra naissance la trigonométrie plane et sphérique.

Les « Coniques » d'Apollonios

Avec les Éléments d'Euclide et les écrits d'Archimède, les Coniques d'Apollonios de Perge (fin du iiie siècle av. J.-C.) constituent l'un des ouvrages les plus complets et les plus remarquables qu'a légués la mathématique grecque [cf. école mathématique d'alexandrie]. Apollonios y présente en un ensemble organique des notions et des résultats pour une part notable antérieurs à lui, mais auxquels il a joint d'importantes contr [...]

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  • : ancien élève de l'École polytechnique, docteur en droit, conseiller à l'U.N.E.S.C.O.

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Pour citer l’article

François RUSSO, « GÉOMÉTRIE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 26 novembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/geometrie/