GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE CLASSIQUE

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Sur quelques propriétés de l'espace euclidien

La structure E3, d'espace euclidien de R3 est définie par le choix du produit scalaire usuel pour lequel la base canonique ε1 = (1, 0, 0), ε2 = (0, 1, 0), ε3 = (0, 0, 1) est orthonormée (cf. groupes – Groupes classiques et géométrie) ; la norme de X = (x, y, z) est alors :

Un déplacement euclidien D est une application affine de R3 dans R3 telle que l'application linéaire associée soit une rotation, c'est-à-dire une transformation orthogonale de déterminant égal à 1 ; l'ensemble des déplacements euclidiens forme alors un groupe G, produit semi-direct du groupe additif R3 (groupe des translations) et du groupe O+(3, R) des rotations. Un déplacement euclidien est défini par les trois composantes (a1, a2, a3) de la translation et les éléments aji d'une matrice orthogonale de déterminant 1. On appelle mouvement euclidien une application t ↦ Dt d'un intervalle I de R dans le groupe G ; ce mouvement sera dit différentiable de classe Ck si les fonctions tai(t) et t aji(t) définissant ce mouvement sont des fonctions k fois continûment dérivables de t. Dans une interprétation cinématique, le paramètre t désigne le temps. Dans ce qui suit, nous adopterons le langage de la cinématique (vitesse, accélération) pour un paramétrage quelconque.

Un repère T (M, e1, e2, e3) de l'espace euclidien E3 est le transformé par un déplacement D du repère canonique (O, ε1, ε2, ε3) ; (e1, e2, e3) est donc une base orthonormée de E3 (considéré comme espace vectoriel) de même sens que (ε1, ε2, ε3), ce qui oriente l'espace. De plus, étant donné deux repères T et T′, il existe un déplacement euclidien et un seul transformant T en T′.

À un mouvement euclidien t ↦ Dt correspond un repère mobile Tt = Dt (T0) (on peut également définir un repère dépendant de plusieurs paramètres) défini par :

pour i = 1, 2, 3 ; si on rapporte les vecteurs dérivés dM/dt et dei/dt au repère mobile, on a, en utilisant le fait que d (ei . ej

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  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
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Dans le chapitre « Géométrie différentielle »  : […] Une des origines du calcul infinitésimal avait été l'étude des courbes planes (tangente, courbure, rectification, etc.), et un de ses succès au xviii e  siècle fut l'étude analogue des courbes gauches et des surfaces. Mais les résultats obtenus étaient relatifs à la position de la courbe ou surface dans l'espace (autrement dit, faisaient interveni […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/analyse-mathematique/#i_30159

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Paulette LIBERMANN, « GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE CLASSIQUE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 10 août 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/geometrie-differentielle-classique/