GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE CLASSIQUE

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Sur quelques propriétés de l'espace euclidien

La structure E3, d'espace euclidien de R3 est définie par le choix du produit scalaire usuel pour lequel la base canonique ε1 = (1, 0, 0), ε2 = (0, 1, 0), ε3 = (0, 0, 1) est orthonormée (cf. groupes – Groupes classiques et géométrie) ; la norme de X = (x, y, z) est alors :

Un déplacement euclidien D est une application affine de R3 dans R3 telle que l'application linéaire associée soit une rotation, c'est-à-dire une transformation orthogonale de déterminant égal à 1 ; l'ensemble des déplacements euclidiens forme alors un groupe G, produit semi-direct du groupe additif R3 (groupe des translations) et du groupe O+(3, R) des rotations. Un déplacement euclidien est défini par les trois composantes (a1, a2, a3) de la translation et les éléments aji d'une matrice orthogonale de déterminant 1. On appelle mouvement euclidien une application t ↦ Dt d'un intervalle I de R dans le groupe G ; ce mouvement sera dit différentiable de classe Ck si les fonctions tai(t) et t aji(t) définissant ce mouvement sont des fonctions k fois continûment dérivables de t. Dans une interprétation cinématique, le paramètre t désigne le temps. Dans ce qui suit, nous adopterons le langage de la cinématique (vitesse, accélération) pour un paramétrage quelconque.

Un repère T (M, e1, e2, e3) de l'espace euclidien E3 est le transformé par un déplacement D du repère canonique (O, ε1, ε2, ε3) ; (e1, e2, e3) est donc une base orthonormée de E3 (considéré comme espace vectoriel) de même sens que (ε1, ε2, ε3), ce qui oriente l'espace. De plus, étant donné deux repères T et T′, il existe un déplacement euclidien et un seul transformant T en T′.

À un mouvement euclidien t ↦ Dt correspond un repère mobile Tt = Dt (T0) (on peut également définir un repère dépendant de plusieurs paramètres) défini par :

pour i = 1, 2, 3 ; si on rapporte les vecteurs dérivés dM/dt et dei/dt au repère mobile, on a, en utilisant le fait que d (ei . ej)/dt = 0 :

Le vecteur ω de composantes (p, q, r) est le vecteur rotation instantanée du mouvement ; pour tout vecteur V lié à Tt, c'est-à-dire tel que :

a, b, c sont des constantes, on a alors :

On démontre que toute application continue d'une partie de E3 dans E3, qui est une isométrie (c'est-à-dire conserve la norme), est une restriction de déplacement euclidien ou d'antidéplacement (transformation affine dont la transformation linéaire associée est orthogonale de déterminant − 1).

Rappelons enfin (cf. calcul infinitésimal – Calcul à plusieurs variables) qu'une application f d'un ouvert U de Rp dans R3 est dite différentiable de classe Ck si f s'exprime au moyen de trois fonctions numériques, f = (f1, f2, f3), admettant des dérivées partielles continues jusqu'à l'ordre k. La différentielle Df (a) de f au point a = (a1a2, ..., ap) ∈ U est l'application linéaire de Rp dans R3 définie par :

pour h = (h1, ..., hp) ∈ Rp ; on considérera souvent la forme quadratique associée à la différentielle seconde en a, définie par :
on appelle application affine tangente en a à f l'application affine Taf définie par :
ce qui équivaut à :
où ε(h) tend vers 0 quand h tend vers 0.

Rappelons enfin que, si on compose deux applications différentielles g et f, on a :

et
en particulier, si Dg(b) (et par suite Tbg) est une bijection, alors Tb(∘ g) et Tg(b)f ont la même image. Dans le cas particulier où g est une fonction d'une variable, alors on a :

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Pour citer l’article

Paulette LIBERMANN, « GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE CLASSIQUE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 02 décembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/geometrie-differentielle-classique/