GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE

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Ensembles algébriques

Soit k un corps de base algébriquement clos. Pour tout entier naturel n, l'espace affine kn est l'ensemble des suites (x1, x2, ..., xn) de n éléments de k ; on appelle ces n éléments les coordonnées du point x = (x1, x2, ..., xn) de kn. L'espace projectif Pn(k) est le quotient de kn+1 − {O}, complémentaire de l'origine O = (0, 0, ..., 0), par la relation d'équivalence qui identifie (x0, x1, ..., xn) à toute suite proportionnelle (tx0, tx1, ..., txn) (t élément non nul de k) ; on voit que les points Pn(k) sont les droites passant par O dans kn + 1, privées de O. Si un élément (x0, x1 ..., xn) de kn + 1 représente un point x de Pn(k), on dit que les coordonnées x0, x1, ..., xn de cet élément sont des coordonnées homogènes de x ; elles ne sont pas toutes nulles et sont définies à un facteur de proportionnalité près.

Une partie X de kn est un ensemble algébrique affine si c'est l'ensemble des zéros communs à des polynômes f1, f2, ..., fs par rapport aux coordonnées ; on dit que X est défini par les équations :

Un ensemble algébrique projectif dans Pn(k) est défini d'une manière analogue par des équations polynomiales homogènes par rapport aux coordonnées homogènes.

Applications régulières

Soient X ⊂ km et Y ⊂ kn des ensembles algébriques affines ; une application u de X dans Y est dite régulière si les coordonnées u1(x), u2(x), ..., un(x) de u(x) sont des fonctions polynomiales des coordonnées du point x de X. En particulier, les applications régulières de X dans k, encore appelées fonctions régulières sur X, sont les fonctions polynomiales des coordonnées d'un point de X ; elles forment un sous-anneau de l'anneau de toutes les applications de X dans k, et ce sous-anneau est visiblement isomorphe au quotient de l'anneau des polynômes k[T1, T2, ..., Tn] par l'idéal des polynômes qui s'annulent sur X.

Il est clair que la composée de deux applications régulières est une application régulière. En particulier, une application régulière u : X → Y définit un homomorphisme ↦ f ∘ u, de l'anneau des fonctions régulière [...]

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Écrit par :

  • : directeur de recherche au C.N.R.S., professeur à l'université de Paris-VIII-Denis-Diderot

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Pour citer l’article

Christian HOUZEL, « GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 28 septembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/geometrie-algebrique/