RIESZ FRÉDÉRIC (1880-1956)

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Espaces fonctionnels

David Hilbert (cf. espace de hilbert) avait montré que l'espace l2 des suites numériques c = (c1, c2, ...) de carré sommable, muni de la norme :

et de la distance :
est un espace vectoriel métrique complet (c'est-à-dire vérifiant la condition de Cauchy pour la convergence). Frédéric Riesz et Ernst Fischer ont démontré, en 1907, indépendamment l'un de l'autre, que l'espace L2([ab]) des classes de fonctions x mesurables et de carré sommable au sens de Lebesgue sur [ab] jouit de propriétés analogues si l'on y définit la norme de x par :
en ne distinguant pas deux fonctions qui coïncident presque partout ; de plus, chaque système orthonormal complet {ϕk} dans L2 engendre une isomorphie isométrique x ↦ c = (ck) entre L2 et l2, où :
ce théorème est d'une importance capitale dans diverses branches des mathématiques et de la physique mathématique.

On doit à F. Riesz l'introduction des espaces lp des suites de nombres complexes de puissance p-ième sommable, des espaces Lp des classes de fonctions de puissance p-ième intégrable, 1 ≤ p ≤ ∞, ainsi que des espaces C de fonctions continues ; les propriétés fondamentales, qu'il a découvertes, des fonctionnelles linéaires sur ces espaces ont servi de fondement à une série de notions (espace vectoriel normé complet, fonctionnelle linéaire, opérateur linéaire, etc.) et de résultats qui constituent la base de l'analyse fonctionnelle. Notons en particulier la représentation générale d'une fonctionnelle linéaire continue A sur l'espace C([ab]) des fonctions continues dans [ab], sous la forme d'une intégrale de Stieltjes avec une fonction v à variation bornée :

Son livre Les Systèmes d'équations linéaires à une infinité d'inconnues (1913) est la première monographie d'analyse fonctionnelle ; on y trouve notamment des calculs effectifs sur les opérateurs linéaires continus, moyennant des intégrales sur des contours dans le plan des nombres complexes, ainsi qu'une démonstration simple du théorème spectral de Hilbert. Lorsque les applications à la [...]

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Pour citer l’article

Béla SZŐKEFALVI-NAGY, « RIESZ FRÉDÉRIC - (1880-1956) », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 22 août 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/frederic-riesz/