FONCTIONS ELLIPTIQUES & MODULAIRE
FONCTIONS ANALYTIQUES Fonctions elliptiques et modulaire
Inaugurée par N. H. Abel et C. Jacobi, la théorie des fonctions elliptiques a été un sujet de prédilection pour les analystes pendant tout le xixe siècle. Appliquées par B. Riemann et K. Weierstrass à l'étude des courbes algébriques dans le plan projectif complexe, ces fonctions sont à la base de la […] […] Lire la suite
ABEL NIELS HENRIK (1802-1829)
À l'aube du xix e siècle, le mathématicien norvégien N. H. Abel allait révolutionner sa science, et Hermite a pu déclarer : « Il a laissé aux mathématiciens de quoi s'occuper pendant cinq cents ans. » D'abord algébriste, il établit l'impossibilité de résolution par radicaux des équations algébriques de degré ≥ 5 et sa méthode ouvrait la voie aux travaux de Galois sur les groupes de substitution d […] […] Lire la suite
ANALYSE MATHÉMATIQUE
Dans le chapitre « Fonctions elliptiques » : […] Un des plus beaux exemples de l'élargissement apporté à l'analyse classique par la considération des fonctions de variables complexes est fourni par la théorie des fonctions elliptiques, développée par Abel et Jacobi indépendamment des premiers travaux de Cauchy (une bonne part de leurs résultats et même des développements plus tardifs sur la fonction modulaire ont d'ailleurs été retrouvés dans l […] […] Lire la suite
COURBES ALGÉBRIQUES
Dans le chapitre « Définitions » : […] Nous avons dit que les cubiques sont rationnelles lorsqu'elles ont un point double. Les cubiques sans point singulier sont projectivement réductibles à la forme : (dans laquelle l'équation y = 0 doit avoir trois racines simples). Cette forme réduite, définie à une homothétie près, dépend du seul paramètre : La définition de la fonction elliptique p ( u ) de Weierstrass met en évidence la représen […] […] Lire la suite
EISENSTEIN FERDINAND GOTTHOLD MAX (1823-1852)
Mathématicien allemand, né et mort à Berlin. Théoricien des nombres, fortement influencé par Gauss, Eisenstein trouva la source de son inspiration dans le calcul algorithmique et les formules. De constitution fragile, sombrant jeune dans une mélancolie pathologique, il avait comme mathématicien une puissance de production inouïe. De 1833 à 1837, Eisenstein résidait à l'académie Cauer à Berlin-Char […] […] Lire la suite
GAUSS CARL FRIEDRICH (1777-1855)
Dans le chapitre « L'unité des mathématiques » : […] Gauss nous est aussi particulièrement proche par le sentiment profond de l'unité des mathématiques qui se dégage de son œuvre. Assurément, on trouve bien avant Gauss des manifestations fort nettes de l'idée que la classification des sciences mathématiques suivant leur objet apparent est un point de vue superficiel, la plus évidente de ces manifestations étant la création de la géométrie analytique […] […] Lire la suite
HALPHEN GEORGES-HENRI (1844-1889)
Mathématicien brillant, travailleur acharné, doué d'un profond talent d'algébriste, Georges-Henri Halphen a attaché son nom surtout à des résultats de géométrie analytique. Né à Rouen le 30 octobre 1844, il fut élevé à Paris, reçut sa première formation au lycée Saint-Louis, entra à l'École polytechnique en 1862 et sortit en 1866 comme lieutenant d'artillerie de l'École d'application de Metz. Il p […] […] Lire la suite
HECKE ERICH (1887-1947)
Né à Buk (Posnanie), Hecke fut l'élève de Hilbert à Göttingen, où il soutint sa thèse en 1912. Il enseigna brièvement à Bâle et à Göttingen, puis à Hambourg à partir de 1919, où il demeura jusqu'à sa mort. Hecke a consacré la quasi-totalité de ses recherches à la fascinante partie des mathématiques où se mêlent, depuis Gauss, fonctions elliptiques et abéliennes, fonctions thêta, fonctions modulair […] […] Lire la suite
HERMITE CHARLES (1822-1901)
Dans le chapitre « Algèbre et analyse » : […] Charles Hermite, né à Dieuze, publia ses premiers travaux alors qu'il était encore élève à l'École polytechnique, et à trente ans il était déjà considéré comme un des meilleurs mathématiciens de son temps. Il fut successivement professeur à l'École polytechnique, au Collège de France et enfin à la Sorbonne à partir de 1869 ; son enseignement et sa volumineuse correspondance eurent une influence co […] […] Lire la suite
HURWITZ ADOLF (1859-1919)
Élève de Felix Klein, Adolf Hurwitz représentait une tendance unificatrice en mathématiques. Avec ses étudiants Hilbert et Minkowski, il s'éleva contre le partage abusif des mathématiques en de nombreuses branches, non seulement suivant le sujet traité, mais même suivant la façon d'aborder une matière. On a pu comparer les mémoires de Hurwitz à des aphorismes. C'est en pleine connaissance des disc […] […] Lire la suite
JACOBI CARL (1804-1851)
Dans le chapitre « Fonctions elliptiques » : […] Dans l'hiver 1826-1827, Jacobi, qui ignorait les travaux non encore publiés d'Abel, écrivit ses premiers essais sur les fonctions elliptiques obtenues par inversion des intégrales elliptiques (cf. abel [ n.h. ], analyse mathématique , chap. 2). A. M. Legendre remarqua ses travaux et signala « la grande sagacité de l'auteur et la fécondité de ses méthodes ». C'est alors que débuta la correspondan […] […] Lire la suite
NOMBRES (THÉORIE DES) Nombres algébriques
Dans le chapitre « Corps de classes » : […] La difficile théorie du corps de classes tire son origine de plusieurs résultats établis au cours du xix e siècle. Nous avons vu que Gauss avait associé, à tout nombre premier impair p , une somme : corps des racines p -ièmes de 1, dont le carré est (− 1) ( p −1)/2 p ; le sous-corps de Q ( r ) engendré par la somme de Gauss est donc isomorphe au corps quadratique Q ( (− 1) ( p− 1)/2 p ). Kronec […] […] Lire la suite
NOMBRES (THÉORIE DES) Nombres p-adiques
Dans le chapitre « Analyse p-adique » : […] On peut développer une théorie des fonctions analytiques de variables p -adiques en définissant de telles fonctions par des développements en séries entières convergentes (cf. fonctions analytiques - Fonctions analytiques d'une variable complexe). Par exemple, la série exponentielle : converge dans le « disque ouvert » de Q p défini par l'inégalité : en effet : et le nombre d'entiers k ≤ n t […] […] Lire la suite
NOMBRES (THÉORIE DES) Théorie analytique
Dans le chapitre « Sommes de carrés » : […] Il peut se faire que la série génératrice d'une suite (ξ n ) de nombres complexes fournisse une série entière convergente dans un voisinage de z = 0 lorsqu'on y substitue à l'indéterminée X un nombre complexe z . Des propriétés de la fonction analytique f ( z ) égale à la somme de cette série entière, on peut alors déduire des renseignements sur la valeur de ξ n . Les premiers exemples de cette […] […] Lire la suite
PRIX ABEL 2016
Dans le chapitre « La démonstration de Wiles » : […] Mais quel est le lien entre les courbes elliptiques et la conjecture de Fermat ? En 1984, le mathématicien allemand Gerhard Frey présenta un résultat crucial en réécrivant l’équation de Fermat x n + y n = z n sous la forme d’une fonction elliptique (qualifiée de semi-stable car elle peut s’inscrire sous plusieurs formes avec des conditions aux limites différentes). Sa démarche se fit par un […] […] Lire la suite
SYLVESTER JAMES JOSEPH (1814-1897)
Mathématicien anglais, né et mort à Londres, qui a créé avec Arthur Cayley la théorie des invariants algébriques. En 1838, James Joseph Sylvester devint professeur de philosophie naturelle au collège de l'université de Londres. En 1841, il accepta la chaire de mathématiques de l'université de Virginie (Charlottesville), mais donna sa démission au bout de trois mois. Quatre ans plus tard, il revint […] […] Lire la suite
WEBER HEINRICH MARTIN (1842-1913)
Universalité. C'est le mot qui caractérise peut-être le mieux le mathématicien allemand Heinrich Weber. Esprit souple, il était capable de travailler dans des domaines très divers des mathématiques. Mais il concentra surtout ses recherches sur l'analyse et ses applications à la physique mathématique et obtint ses résultats les plus profonds en algèbre et en théorie des nombres. Né le 5 mai 1842 à […] […] Lire la suite
WEIERSTRASS KARL THEODOR WILHELM (1815-1897)
Dans le chapitre « La théorie des fonctions elliptiques » : […] La théorie des fonctions elliptiques, elle aussi, doit beaucoup à Weierstrass. C'est lui qui introduit les fonctions p , ζ, σ (cf. fonctions analytiques - Fonctions elliptiques et modulaire), cette dernière construite à l'aide d'un produit infini de Weierstrass ; c'est lui qui reconnut l'existence d'une relation algébrique entre f ( u ), f ( v ) et f ( u + v ) pour toute fonction elliptiqu […] […] Lire la suite
WEIL ANDRÉ (1906-1998)
Mathématicien français, André Weil a mené des travaux portant principalement sur la géométrie algébrique et ses applications à la théorie des nombres. Né le 6 mai 1906, André Weil entra à l'École normale supérieure à l'âge de seize ans ; il fut docteur ès sciences à vingt-deux ans, avec une thèse qui fit époque : il y étendait à toutes les courbes algébriques un théorème de finitude obtenu peu a […] […] Lire la suite
Domaine fondamental du groupe modulaire
Crédits : Encyclopædia Universalis France
Domaine du groupe modulaire
Crédits : Encyclopædia Universalis France
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