FONCTIONS ANALYTIQUESReprésentation conforme

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Définition

La représentation conforme

Considérons un domaine D du plan R2. On dit qu'une application différentiable f de D dans R2 est conforme en un point z0 de D si sa dérivée (ou application linéaire tangente) D1 f (z0) en z0 conserve les angles orientés (cf. calcul infinitésimal – Calcul à plusieurs variables). En convenant que l'angle en z0 de deux chemins différentiables γ1 et γ2 passant par z0 est l'angle de leurs tangentes en z0, on voit que cette condition revient à la suivante : l'angle orienté en (z0) des chemins images ∘ γ1 et ∘ γ2 est égal à l'angle orienté de γ1 et γ2 en z0, quels que soient les chemins γ1 et γ2 différentiables passant par z0.

Conservation des angles

Dessin : Conservation des angles

Dessin

Conservation des angles 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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On sait qu'une application linéaire du plan dans lui-même, qui conserve les angles orientés est une similitude directe de centre O. Ainsi, la conformité de f en z0 signifie que l'application linéaire tangente D1f (z0) est une similitude directe. Il est très commode de représenter les similitudes à l'aide de la multiplication des nombres complexes. Dans la suite, on considérera que le plan est le corps des nombres complexes C, et l'on écrira x + iy pour le point (x, y) du plan (cf. nombrescomplexes) ; une similitude directe de centre O est alors une application de la forme ↦ az, où a est un nombre complexe non nul dont le module et l'argument sont respectivement le rapport et l'angle de la similitude ; dans la base canonique (1, i) de C sur R, la matrice de la similitude considérée s'écrit :

où α est la partie réelle de a, et β sa partie imaginaire.

Dire que f est conforme en z0 revient donc à dire que sa dérivée est de la forme ↦ ah, avec ∈ C, ≠ 0 ; par conséquent, le rapport :

tend vers 0 avec h, ou encore f est dérivable au sens complexe en z0, avec comme dérivée, ′(z0) = ≠ 0 (cf. fonctions analytiques – Fonctions analytiques d'une variable complexe, chap. 2). En termes réels, on doit écrire que la matrice jacobienne de f = P + iQ, soit :
est de la forme :
ce qui donne les conditions de Cauchy-Riemann :

Ainsi toute fonction holomorphe f dans D, dont l [...]

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Conservation des angles

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Représentation z ↦ z2

Représentation z ↦ z2
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Représentation z ↦ z1/2

Représentation z ↦ z1/2
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Représentation z ↦1/ z

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Écrit par :

  • : directeur de recherche au C.N.R.S., professeur à l'université de Paris-VIII-Denis-Diderot

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Pour citer l’article

Christian HOUZEL, « FONCTIONS ANALYTIQUES - Représentation conforme », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 23 janvier 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/fonctions-analytiques-representation-conforme/