FONCTIONS ANALYTIQUESFonctions elliptiques et modulaire

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FONCTIONS ANALYTIQUES - Vue d'ensemble

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 1 140 mots

Depuis l'Antiquité, on connaît en substance la série géométrique suivante :Une des grandes découvertes qui jalonnèrent la formation du calcul infinitésimal au milieu du xviie siècle fut la possibilité de représenter les fonctions « usuelles » (logarithme, exponentielle, fonctions trigonométriques, etc.) par des développements e […] Lire la suite

FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions d'une variable complexe

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 17 547 mots
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On se propose, dans ce premier article, d'exposer, avec des démonstrations quasiment complètes, les résultats les plus élémentaires de la théorie des fonctions analytiques d'une variable complexe ; les deux derniers chapitres sont consacrés à quelques résultats sans démonstration. Historiquement, l'extension au cas complexe de nombreuses fonctions classiques a été réalisée par l'intermédiaire des […] Lire la suite

FONCTIONS ANALYTIQUES - Représentation conforme

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  • Christian HOUZEL
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La représentation conforme la plus anciennement connue est la projection stéréographique, inventée par les Grecs (Hipparque, Ptolémée). Les problèmes cartographiques conduisirent à la découverte d'autres applications conservant les angles d'un domaine sphérique sur un domaine plan, telle la projection de Mercator (xvie siècle). Au début du […] Lire la suite

FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions de plusieurs variables complexes

  • Écrit par 
  • André MARTINEAU, 
  • Henri SKODA
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La notion de fonction holomorphe de plusieurs variables complexes est aussi ancienne que l'analyse complexe. Les problèmes les plus simples, qui font intervenir des relations algébriques ou analytiques ou des équations différentielles, introduisent nécessairement ces fonctions. Mais, à part quelques faits élémentaires, pendant très longtemp […] Lire la suite

FONCTIONS ANALYTIQUES (A.-L. Cauchy)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 181 mots

Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) a écrit 789 notes qui furent publiées pour la plupart aux Comptes rendus de l'Académie des sciences. Parmi les nombreux résultats importants qu’il a démontrés, ceux qui concernent les fonctions d'une variable complexe ont marqué un tournant décisif dans l'histoire de l' […] Lire la suite

ANALYSE MATHÉMATIQUE

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 8 744 mots

Dans le chapitre « La théorie des fonctions analytiques »  : […] La notion de fonction remonte au xvii e  siècle ; mais jusque vers 1800, on admettait généralement qu'une fonction f d'une variable réelle, définie dans un intervalle, était indéfiniment dérivable, sauf en un nombre fini de points exceptionnels. On peut, pour une telle fonction, et pour tout point non exceptionnel x 0 , former la série de Taylor de f au point x 0  : et comme les idées sur la conve […] Lire la suite

ANNEAUX & ALGÈBRES

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 5 224 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Anneaux et algèbres de fonctions »  : […] Les fonctions réelles d'une variable réelle définies dans un intervalle [ a ,  b ] de la droite réelle constituent une algèbre en convenant que la somme et le produit de deux fonctions ou le produit d'une fonction par un nombre réel λ sont les fonctions dont les valeurs en chaque point sont respectivement la somme et le produit des valeurs en ce point ou le produit par λ de la valeur de la fonctio […] Lire la suite

ASYMPTOTIQUES CALCULS

  • Écrit par 
  • Jean-Louis OVAERT, 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 6 511 mots
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Dans le chapitre « La méthode du col »  : […] Cette méthode a été utilisée par Riemann en 1863 pour étudier le comportement asymptotique de la fonction hypergéométrique et Debye l'a systématiquement développée dans deux mémoires de 1909 et 1910. Il s'agit d'étudier, pour t réel tendant vers l'infini, des intégrales du type : où L est un chemin, fini ou pas (pouvant dépendre de t ), contenu dans un ouvert D du plan complexe dans lequel g et […] Lire la suite

BOREL ÉMILE (1871-1956)

  • Écrit par 
  • Maurice FRÉCHET
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Dans le chapitre « Théorie des fonctions »  : […] Sommation des séries divergentes. L'intervention fréquente des séries divergentes dans la théorie des fonctions analytiques, par exemple, conduisit Borel à rendre ces séries « convergentes » en un sens plus général ; dans son ouvrage Leçons sur les séries divergentes , il étudie divers procédés de sommabilité, dont le plus important est la sommabilité exponentielle obtenue ainsi. Si u n est le […] Lire la suite

DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Théorie linéaire

  • Écrit par 
  • Martin ZERNER
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Dans le chapitre « Le théorème de Cauchy-Kovalevskaïa »  : […] Supposons l'opérateur P de la forme : où les Q k sont des opérateurs différentiels d'ordre au plus k et où ∇ x désigne le gradient relativement à x . Le problème de Cauchy s'énonce alors : « Trouver u vérifiant : où f et g 0 , g 1 ,..., g m-1 sont des fonctions données. » Le théorème de Cauchy-KovalevskaÎa suppose que les coefficients de P ainsi que les données f , g 0 , ...,  g m-1 sont d […] Lire la suite

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Pour citer l’article

Michel HERVÉ, « FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions elliptiques et modulaire », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 27 septembre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/fonctions-analytiques-fonctions-elliptiques-et-modulaire/