FONCTIONS ANALYTIQUES Fonctions elliptiques et modulaire
- 1. Intégrales circulaires et elliptiques
- 2. Propriétés générales des fonctions analytiques uniformes admettant un groupe de périodes donné G
- 3. Les fonctions de Weierstrass
- 4. Les fonctions de Jacobi
- 5. La fonction modulaire
- 6. Les fonctions automorphes
- 7. Les fonctions périodiques de plusieurs variables complexes
- 8. Bibliographie
Les fonctions automorphes
On doit à Henri Poincaré (1854-1912) une vaste extension des fonctions elliptiques. Les translations étant des automorphismes du plan, c'est-à-dire des bijections holomorphes du plan sur lui-même, et les fonctions G-elliptiques des fonctions méromorphes sur le plan invariantes par le groupe G d'automorphismes, on peut de même se donner un groupe G d'automorphismes d'un disque ou demi-plan D et chercher des fonctions méromorphes sur D invariantes par G : on les appellera G-automorphes.
Pour qu'il en existe d'autres que les constantes, il est évidemment nécessaire que G satisfasse à la condition suivante, que Poincaré énonçait « G-discontinu », et qu'on énonce maintenant « G-discret » : aucun élément g de G n'est limite d'éléments de G distincts de g. Poincaré montra que cette condition nécessaire est aussi suffisante pour qu'il existe des fonctions G-automorphes (il disait « fuchsiennes ») non constantes.
Lorsque la variété D/G n'est pas compacte, ce qui est le cas général, deux fonctions G-automorphes ne sont pas en général liées par une relation algébrique : ainsi, pour le groupe modulaire, la fonction modulaire J est une fonction automorphe holomorphe, donc aussi eJ, qui n'est pas liée algébriquement à J. Une fonction automorphe pour ce groupe est liée algébriquement à J, si, et seulement si, comme J d'après la formule (8), cette fonction est une fonction méromorphe de w = exp (2 πiζ) pour |w| < 1.
Poincaré caractérisa les domaines fondamentaux Δ des groupes G-discrets, et divisa ces groupes en familles suivant la disposition de Δ, dont dépend l'existence d'une relation algébrique entre deux fonctions G-automorphes. La première famille est formée des groupes G pour lesquels la frontière de Δ ne rencontre pas celle de D ; ce sont aussi les groupes G pour lesquels la variété D/G est compacte, de sorte que deux fonctions G-automorphes quelconques sont liées par une relation algébrique.
Inversement, à toute relation algébrique entre deux variables x et y, on peut associer un groupe G-discret et un couple de fonctions G-automorphes non constantes f et g liées par cette relation ; autrement dit, toute courbe algébrique peut être paramétrée à l'aide d'un couple de fonctions automorphes : x = f (ζ), y = g(ζ). Ce résultat remarquable de Poincaré, publié en 1881, généralise le fait que toute cubique non unicursale, donc aussi toute courbe algébrique de genre 1 (cf. courbes algébriques, chap. 6 à 8), peut être paramétrée à l'aide d'un couple de fonctions elliptiques.
- 1. Intégrales circulaires et elliptiques
- 2. Propriétés générales des fonctions analytiques uniformes admettant un groupe de périodes donné G
- 3. Les fonctions de Weierstrass
- 4. Les fonctions de Jacobi
- 5. La fonction modulaire
- 6. Les fonctions automorphes
- 7. Les fonctions périodiques de plusieurs variables complexes
- 8. Bibliographie
La suite de cet article est accessible aux abonnés
- Des contenus variés, complets et fiables
- Accessible sur tous les écrans
- Pas de publicité
Déjà abonné ? Se connecter
Écrit par
- Michel HERVÉ : professeur à l'université de Paris-VI
. In Encyclopædia Universalis []. Disponible sur : (consulté le )
Média
Domaine du groupe modulaire
Encyclopædia Universalis France
Autres références
-
FONCTIONS ANALYTIQUES (A.-L. Cauchy)
- Écrit par Bernard PIRE
- 181 mots
Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) a écrit 789 notes qui furent publiées pour la plupart aux Comptes rendus de l'Académie des sciences. Parmi les nombreux résultats importants qu’il a démontrés, ceux qui concernent les fonctions d'une variable complexe ont marqué un tournant décisif dans l'histoire...
-
PRIX ABEL 2016
- Écrit par Yves GAUTIER
- 1 168 mots
- 2 médias
Pour ce qui est des formes modulaires, on peut dire très schématiquement que ce sont des fonctions analytiques qui respectent certaines conditions exprimées par certaines équations fonctionnelles – un exemple étant f[(az + b)/(cz + d)] = (cz + d)2 f(z) pour tout z complexe ; a, b, c et d étant... -
ANALYSE MATHÉMATIQUE
- Écrit par Jean DIEUDONNÉ
- 8 527 mots
...exemple pour la fonction égale à exp (− 1/x2) pour x ≠ 0 et à 0 pour x = 0, en prenant x0 = 0). Il y a donc lieu de faire l'étude des fonctions, dites analytiques, qui, au voisinage de chaque point x0 où elles sont définies, sont égales à leur série de Taylor en ce point. On savait depuis... -
ANNEAUX & ALGÈBRES
- Écrit par Jean-Luc VERLEY
- 5 036 mots
- 1 média
...fonctions analytiques à l'origine O du plan complexe. Considérons les couples (U, f ) d'un voisinage ouvert de O dans le plan complexe et d'une fonction f définie et analytique dans U. Nous dirons que deux tels couples (U, f ) et (V, g) définissent le même germe à l'origine si f et ... -
ASYMPTOTIQUES CALCULS
- Écrit par Jean-Louis OVAERT, Jean-Luc VERLEY
- 6 250 mots
- 1 média
...) = etReh(x+iy), appelé le relief de eth(z). Cette surface ne présente pas de « sommet » relatif, d'après le principe du maximum pour les fonctions analytiques, et, par suite, les seuls points où le plan tangent est horizontal (ce sont les points où la dérivée h′(z) s'annule), sont... - Afficher les 20 références
Voir aussi
