FONCTIONS ANALYTIQUESFonctions elliptiques et modulaire

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Intégrales circulaires et elliptiques

Le calcul intégral classique montre qu'une intégrale de la forme :

où P(x) est un polynôme du 2e degré sans racine double, se calcule à l'aide de fonctions dites élémentaires, c'est-à-dire circulaires ou hyperboliques. Posons par exemple :
  si x et t sont réels, ils doivent être compris entre ± 1, et l'on a u = Arc sin x, dont la fonction inverse est x = sin u ; comme u reste compris entre ± π/2, la période 2 π de cette fonction inverse n'apparaît pas si l'on prend x et t réels.

Mais prenons-les complexes : si ω est l'ensemble des points du plan dont l'affixe est non réel ou réel strictement compris entre ± 1, la fonction :

a une détermination holomorphe sur ω, valant 1 à l'origine, qui à son tour a une primitive u(x) holomorphe sur ω et nulle à l'origine. Quand x varie dans ω le long de la partie [1, + ∞ [ (resp.] − ∞, − 1]) de la frontière, au-dessus ou au-dessous, u décrit la droite Re u = π/2 (resp. − π/2) au-dessus ou au-dessous de l'axe réel. De la formule intégrale de Cauchy (cf. fonctions analytiques – Fonctions analytiques d'une variable complexe, chap. 5) résulte alors une correspondance conforme biunivoque entre x décrivant ω et u décrivant la bande δ définie par :

Le principe de symétrie de Schwarz (cf. fonction analytique - Fonctions analytiques d'une variable complexe, chap. 4) permet de prolonger cette correspondance par symétrie par rapport aux frontières rectilignes de ω et δ : après ce prolongement, à deux valeurs de u symétriques par rapport à l'une des droites Re u = ± π/2 correspondent deux valeurs de x symétriques par rapport à l'axe réel, donc à deux valeurs de u différant de 2 π correspond la même valeur de x. Ainsi l'inversion de l'intégrale circulaire :

effectuée dans le champ complexe, donne une fonction de période 2 π, qui, d'autre part, est évidemment solution de l'équation différentielle :

Ce raisonnement, dont le principe est de Carl Jacobi (1804-1851), s'applique aussi à l'intégrale elliptique :

où P est le degré 3 ou 4, sans racine double. Prenons par exemple :
Cette intégrale a une détermination holomorphe sur ω, positive sur la partie ]α, + ∞[ de la frontière. Cette détermination, à son tour, a une primitive u(x) holomorphe sur ω et nulle à l'infini. Quand x varie dans ω le long de la frontière, passant successivement par + ∞, α, β, γ, − ∞, u décrit le périmètre 0, a, b, c, 0 d'un rectangle, où a et ic sont réels < 0 ; comme dans le cas précédent, la correspondance conforme biunivoque, entre x décrivant ω et u décrivant l'intérieur δ de ce rectangle, se prolonge par symétrie par rapport aux frontières rectilignes de ω et δ. Après ce prolongement, x prend la même valeur en deux points u symétriques par rapport à l'un des sommets du rectangle, donc admet un groupe (additif) de périodes engendré par τ = 2 a, τ′ = 2 ic, dont le rapport est imaginaire pur.

Ainsi l'inversion de l'intégrale elliptique :

donne une fonction doublement périodique, qui d'autre part est évidemment solution de l'équation différentielle :

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Pour citer l’article

Michel HERVÉ, « FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions elliptiques et modulaire », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 04 décembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/fonctions-analytiques-fonctions-elliptiques-et-modulaire/