GAMMA FONCTION

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La fonction gamma dans le domaine réel

Une intégration par parties montre facilement que, pour tout entier positif n, on a :

mais l'intégrale (1) garde un sens pour des valeurs non nécessairement entières de n, d'où l'idée d'extrapoler ainsi la suite des factorielles. On pose traditionnellement :
(intégrale eulérienne de seconde espèce), forme due à Euler (1781). Pour x > 0, cette intégrale est convergente au voisinage de 0, car e-ttx-1 ∼ tx-1 pour x tendant vers 0, avec x − 1 > − 1 ; la convergence pour l'infini résulte de la présence du terme exponentiel e-t. En fait, on peut montrer que l'intégrale (2) et toutes les intégrales obtenues en dérivant un nombre quelconque de fois par rapport à x sous le signe d'intégration sont uniformément convergentes au voisinage de 0 et de + ∞. La fonction Γ est donc indéfiniment dérivable pour x > 0, de dérivées :

Remarquons qu'avec la définition (2) on a, en tenant compte de (1) :

ce qui suggère la convention généralement adoptée 0 ! = 1.

Relation fonctionnelle et graphe

Remplaçant x par x + 1 dans (2) et intégrant par parties, on obtient :

ce qui donne, en faisant tendre a vers 0 et A vers l'infini, la relation fonctionnelle :

Par récurrence, on en déduit facilement :

cette relation permet de définir Γ(x) pour x réel négatif, − n < x < − n + 1. On a ainsi défini Γ(x) pour tout nombre réel x qui n'est pas un entier négatif ou nul ;

La fonction ln Γ est convexe sur ]0, +∞] ; en effet, l'inégalité de Schwarz montre que :

d'où (ln Γ)″ ≥ 0. A fortiori, la fonction Γ est convexe. Comme Γ (2) = Γ (1) = 1, la fonction Γ atteint son minimum sur R*+ en un point compris entre 1 et 2. La figure représente le graphe de cette fonction.

Graphe

Dessin : Graphe

Graphe de la fonction gamma 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Formules d'Euler et de Weierstrass

Pour n tendant vers l'infini,

tend vers e-t pour tout t, et cela suggère la formule (qu'il faut, bien entendu, démontrer rigoureusement) :
la seconde intégrale s'obtenant en faisant le changement de variable t = nu dans la première. Or, un calcul facile montre que :
d'où la formule d'Euler :

Pour transformer cette expression, on peut écrire :

or la quantité :
tend vers une limite γ (la célèbre constante d'Euler γ ∼ 0,577 2) lorsque n tend vers l'infini. Divisant chacun des termes du produit (x + 1)...(x + n) par l'entier correspondant pris dans n !, on a donc :
puisque le produit infini est convergent ; ce développement en produit infini a été obtenu par Weierstrass.

Comportement asymptotique

Le comportement de la fonction gamma lorsque la variable x tend vers l'infini est décrit par la formule de Stirling :

qui donne, en particulier, un « infiniment grand » équivalent à la factorielle :
on peut d'ailleurs préciser plus étroitement le comportement asymptotique de Γ(x) (cf. calculs asymptotiques).

Indiquons maintenant une formule due à Legendre pour p = 2 et à Gauss dans le cas général : formule de Legendre-Gauss :

pour tout entier p > 1. Pour p = 2, on a donc :

Intégrales eulériennes

De nombreuses intégrales définies s'expriment au moyen de la fonction gamma. C'est ainsi que, pour les intégrales eulériennes de première espèce (fonction bêta), x > 0 et y > 0 :

À partir de la formule (4), Euler a établi la formule fondamentale :
on en déduit beaucoup d'autres résultats. Par exemple, si on effectue le changement de variable u = sin2 t, on obtient :

Faisant x = y = 1/2 dans la formule précédente, on obtient la valeur :

qui permet, en utilisant (3), de calculer plus généralement Γ(n + 1/2).

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Écrit par :

  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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Pour citer l’article

Jean-Luc VERLEY, « GAMMA FONCTION », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 14 août 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/fonction-gamma/