NORMÉS ESPACES VECTORIELS
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Espaces vectoriels normés, espaces de Banach : définitions et premières propriétés
Dans ce qui suit, on ne considérera que des espaces vectoriels sur le corps R des nombres réels ou sur le corps C des nombres complexes. Pour éviter de préciser à chaque fois, on désignera par K ce corps de base ; pour α ∈ K, la notation |α| désignera donc soit la valeur absolue de α si K = R, soit le module de α si K = C.
Soit E un espace vectoriel sur K. On appelle norme sur E une application (notée traditionnellement x ↦ ∥x∥ ; on dit aussi que ∥x∥ est la norme de x) de E dans l'ensemble R+ des nombres réels positifs ou nuls qui possède les propriétés suivantes :
(1) Condition de séparation :

(2) Homogénéité :

(3) Inégalité du triangle :

Un espace vectoriel muni d'une norme s'appelle un espace vectoriel normé. Remarquons que la restriction d'une norme à un sous-espace vectoriel est une norme, appelée norme induite, sur ce sous-espace. Si la condition de séparation n'est pas satisfaite, on dit qu'on a seulement une semi-norme ; l'espace quotient de E par la relation d'équivalence :

Tout espace vectoriel E est un espace métrique pour la distance :




Ces boules unités so [...]
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Écrit par :
- Robert ROLLAND : maître assistant à la faculté des sciences de Marseille-Luminy
- Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
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Autres références
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ALGÈBRE
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Voir aussi
Pour citer l’article
Robert ROLLAND, Jean-Luc VERLEY, « NORMÉS ESPACES VECTORIELS », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 06 décembre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/espaces-vectoriels-normes/