NORMÉS ESPACES VECTORIELS

Dans ce qui suit, on ne considérera que des espaces vectoriels sur le corps R des nombres réels ou sur le corps C des nombres complexes. Pour éviter de préciser à chaque fois, on désignera par K ce corps de base ; pour α ∈ K, la notation |α| désignera donc soit la valeur absolue de α si K = R, soit le module de α si K = C.

Soit E un espace vectoriel sur K. On appelle norme sur E une application (notée traditionnellement x ↦ ∥x∥ ; on dit aussi que ∥x∥ est la norme de x) de E dans l'ensemble R⁺ des nombres réels positifs ou nuls qui possède les propriétés suivantes :

(1) Condition de séparation :

(2) Homogénéité :

quels que soient x ∈ E et λ ∈ K ;

(3) Inégalité du triangle :

quels que soient x, y ∈ E.

Un espace vectoriel muni d'une norme s'appelle un espace vectoriel normé. Remarquons que la restriction d'une norme à un sous-espace vectoriel est une norme, appelée norme induite, sur ce sous-espace. Si la condition de séparation n'est pas satisfaite, on dit qu'on a seulement une semi-norme ; l'espace quotient de E par la relation d'équivalence :

est alors muni de manière naturelle d'une norme, car le nombre ∥x∥ ne dépend que de la classe de x (espace normé associé).

Tout espace vectoriel E est un espace métrique pour la distance :

déduite de la norme. On peut donc appliquer aux espaces vectoriels normés le langage géométrique de l'analyse (boules, ouverts et fermés, convergence, etc.) introduit dans l'article espaces métriques. Remarquons que si d est une distance sur un espace vectoriel déduite d'une norme, elle possède la propriété suivante d'invariance par translation :quels que soient x, y, z ∈ E. Ainsi, les boules de centre z sont les translatées des boules centrées à l'origine 0 de l'espace vectoriel qui s'obtiennent toutes par homothétie (d'après l'homogénéité de la norme) à partir de la boule unité ouverte :ou de la boule unité fermée :

Ces boules unités so [...]