INTÉGRABLES ESPACES DE FONCTIONS

CALCUL INFINITÉSIMAL - Calcul à une variable

  • Écrit par 
  • Roger GODEMENT
  •  • 11 788 mots
  •  • 6 médias

Dans le chapitre « Intégration et dérivation »  : […] Soit X un intervalle quelconque, et f une fonction réglée dans X, c'est-à-dire qui admet des limites à gauche et à droite en chaque point de X. Choisissons une fois pour toutes un point a de X. Pour tout t  ∈ X, la fonction f est réglée et donc intégrable dans l'intervalle compact d'extrémités a et t . Nous nous proposons d'étudier la fonction F définie sur X par les formules suivantes : Noton […] Lire la suite

HARMONIQUE ANALYSE

  • Écrit par 
  • René SPECTOR
  •  • 5 770 mots

Dans le chapitre « Le théorème de Bessel-Parseval-Plancherel »  : […] Soit f une fonction périodique continue, et soit : sa série de Fourier. On a alors l'égalité suivante : Plus généralement, si on considère une fonction périodique, de carré intégrable sur [0, 2π], cette fonction est en particulier intégrable, et possède des coefficients de Fourier c n tels que l'égalité (4) ait lieu. Tout aussi remarquable est le fait que toute suite ( c n ), n parcourant l'ens […] Lire la suite

INTÉGRATION ET MESURE

  • Écrit par 
  • André REVUZ
  •  • 6 222 mots

Dans le chapitre « L'intégrale de Lebesgue »  : […] En même temps qu'il démontrait l'existence de mesures σ-additives, Lebesgue définissait l'intégrale qui porte son nom. Dans le cas simple de fonctions réelles bornées nulles hors d'un élément de B de mesure finie, le processus indiqué pour l'intégrale de Riemann conduit, à condition de partir des fonctions étagées relatives à (X, B , μ), à l'intégrale de Lebesgue. Les fonctions bornées nulles hor […] Lire la suite

RIESZ FRÉDÉRIC (1880-1956)

  • Écrit par 
  • Béla SZŐKEFALVI-NAGY
  •  • 1 514 mots

Dans le chapitre « Espaces fonctionnels »  : […] David Hilbert (cf. espace de hilbert ) avait montré que l'espace l 2 des suites numériques c  = ( c 1 , c 2 , ...) de carré sommable, muni de la norme : et de la distance : est un espace vectoriel métrique complet (c'est-à-dire vérifiant la condition de Cauchy pour la convergence). Frédéric Riesz et Ernst Fischer ont démontré, en 1907, indépendamment l'un de l'autre, que l'espace L 2 ([ a ,  b ]) […] Lire la suite

SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES

  • Écrit par 
  • Jean-Pierre KAHANE
  •  • 5 481 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Aperçu historique »  : […] Quoique certaines sommes de séries trigonométriques aient déjà été calculées par L. Euler (cf. analyse harmonique ), on peut considérer que l'histoire des séries trigonométriques remonte à la solution, donnée par D.  Bernoulli, du problème des cordes vibrantes . Le problème est de calculer le mouvement d'une corde, de longueur l , fixée en ses extrémités, et qui est soit écartée de sa position d' […] Lire la suite