ESPACE, mathématique

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De la géométrie projective aux espaces symétriques

À la Renaissance, l'invention de la perspective, par des peintres comme Piero della Francesca (1410-1492), Léonard de Vinci (1452-1519) ou Albrecht Dürer (1471-1528), conduit à étudier les projections sur un plan, depuis un point usuel ou « à l'infini ». Les notions qui émergent alors sont formalisées en 1636 par Girard Desargues, dans le cadre nouveau de la géométrie projective. Desargues ajoute au plan euclidien (et à l'espace euclidien) des points « à l'infini », pour obtenir le « plan projectif » (et l'espace projectif de dimension trois). La notion de distance disparaît, mais les notions de droite, de plan, de projection et de conique subsistent. Il existe des transformations qui envoient les points à l'infini sur des points « usuels », et qui envoient à l'infini des points « usuels ».

On peut identifier le plan projectif avec l'espace des droites de l'espace euclidien qui passent par l'origine ; si on fixe un plan P ne contenant pas l'origine, les points de P sont chacun associés à une droite qui n'est pas parallèle à P – c'est simplement la droite passant par ce point et par l'origine – alors que les droites parallèles à P sont associées aux points « à l'infini ». Les droites du plan projectif correspondent aux ensembles de droites (contenant l'origine) parallèles à un plan donné.

Desargues ne se contente pas de proposer un nouveau formalisme d'une évidente élégance ; il en démontre aussi la puissance, à l'aide de nouveaux théorèmes d'énoncé purement euclidien mais dont la preuve repose sur la géométrie projective. Pourtant, sa découverte sera mal comprise, voire rejetée, et essentiellement oubliée après la perte de son ouvrage majeur et de l'œuvre géométrique de son disciple Blaise Pascal ; elle ne sera retrouvée que beaucoup plus tard par Gaspard Monge (1746-1818) et Jean Poncelet (1788-1867).

Une autre géométrie se développe au xixe siècle, à partir d'interrogations déjà anciennes sur les Éléments d'Euclide. Le cinquièm [...]


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Jean-Marc SCHLENKER, « ESPACE, mathématique », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 26 novembre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/espace-mathematique/