ESPACE, mathématique

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De la géométrie projective aux espaces symétriques

À la Renaissance, l'invention de la perspective, par des peintres comme Piero della Francesca (1410-1492), Léonard de Vinci (1452-1519) ou Albrecht Dürer (1471-1528), conduit à étudier les projections sur un plan, depuis un point usuel ou « à l'infini ». Les notions qui émergent alors sont formalisées en 1636 par Girard Desargues, dans le cadre nouveau de la géométrie projective. Desargues ajoute au plan euclidien (et à l'espace euclidien) des points « à l'infini », pour obtenir le « plan projectif » (et l'espace projectif de dimension trois). La notion de distance disparaît, mais les notions de droite, de plan, de projection et de conique subsistent. Il existe des transformations qui envoient les points à l'infini sur des points « usuels », et qui envoient à l'infini des points « usuels ».

On peut identifier le plan projectif avec l'espace des droites de l'espace euclidien qui passent par l'origine ; si on fixe un plan P ne contenant pas l'origine, les points de P sont chacun associés à une droite qui n'est pas parallèle à P – c'est simplement la droite passant par ce point et par l'origine – alors que les droites parallèles à P sont associées aux points « à l'infini ». Les droites du plan projectif correspondent aux ensembles de droites (contenant l'origine) parallèles à un plan donné.

Desargues ne se contente pas de proposer un nouveau formalisme d'une évidente élégance ; il en démontre aussi la puissance, à l'aide de nouveaux théorèmes d'énoncé purement euclidien mais dont la preuve repose sur la géométrie projective. Pourtant, sa découverte sera mal comprise, voire rejetée, et essentiellement oubliée après la perte de son ouvrage majeur et de l'œuvre géométrique de son disciple Blaise Pascal ; elle ne sera retrouvée que beaucoup plus tard par Gaspard Monge (1746-1818) et Jean Poncelet (1788-1867).

Une autre géométrie se développe au xixe siècle, à partir d'interrogations déjà anciennes sur les Éléments d'Euclide. Le cinquième axiome d'Euclide affirme que, par un point donné, il passe exactement une droite parallèle à une droite donnée. Une forme équivalente énonce que la somme des angles d'un triangle est égale à π. Or, dès la Renaissance, des géomètres ont tenté de montrer que cet énoncé découlait des autres axiomes d'Euclide.

Motivés par cette question, János Bolyai et Nikolaï Lobatchevski découvrent indépendamment, vers 1825, une nouvelle forme de géométrie, appelée hyperbolique, dans laquelle tous les axiomes d'Euclide sont vrais, sauf le cinquième qui est remplacé par celui-ci : par un point donné, il passe une infinité de parallèles à une droite donnée. On parle donc de géométrie non euclidienne.

La géométrie hyperbolique est, par rapport à la géométrie euclidienne, dans une position opposée à celle de la géométrie sphérique. Sur la sphère, le rôle des droites est joué par les grands cercles, qui sont les intersections de la sphère avec les plans passant par son centre. Deux grands cercles se rencontrent toujours en exactement deux points. De plus, la somme des angles d'un triangle tracé sur la sphère est égale non pas à π, mais à π plus l'aire du triangle ; dans le plan hyperbolique, cette somme est égale à π moins l'aire du triangle.

Dès sa découverte, la géométrie hyperbolique montre une remarquable richesse, supérieure sur certains points importants à celle de la géométrie euclidienne. Elle joue aujourd'hui un rôle central dans plusieurs branches des mathématiques, de la théorie des nombres à la topologie.

Felix Klein propose en 1872 un renversement de la notion d'espace géométrique, dans son « programme d'Erlangen ». Il propose de mettre l'accent non pas sur les objets géométriques (points, droites, coniques, etc.), mais sur le groupe des transformations qui laissent invariantes les propriétés géométriques d'un espace, qui peut être euclidien, projectif ou hyperbolique. Les propriétés de l'espace se traduisent et s'expliquent par la structure algébrique du groupe de ses transformations, qui devient dès lors le point focal de l'attention des géomètres.

Les idées de Klein trouvent leur pleine réalisation dans le travail d'Élie Cartan (1869-1951), qui définit les espaces symétriques comme des espaces qui sont invariants sous l'action d'un group [...]

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Jean-Marc SCHLENKER, « ESPACE, mathématique », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 18 juin 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/espace-mathematique/