HILBERT ESPACE DE

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Généralités

Espaces préhilbertiens

On appelle espace vectoriel préhilbertien (complexe) un espace vectoriel sur le corps C des nombres complexes, muni d'une forme sesquilinéaire auto-adjointe dont la forme hermitienne associée est positive, c'est-à-dire d'une application de E × E dans C, notée (xy) ↦ (x|y), satisfaisant aux conditions suivantes :

– pour tout élément y de E, l'application ↦ (x|y) est linéaire ;

– pour tout couple (xy) d'éléments de E, (y|x) = (x|y) ;

– pour tout élément x de E, (x|x) ≥ 0.

Le scalaire (x|y) s'appelle produit hermitien des vecteurs x et y.

On dit que l'espace vectoriel E est préhilbertien séparé, ou hermitien, si la forme, hermitienne considérée est définie positive, c'est-à-dire si la relation (x) = 0 implique la relation x = 0.

Théorème 1. Pour tout couple (xy) d'éléments d'un espace préhilbertien E :

(inégalité de Schwarz).

Écartons le cas où l'un des deux vecteurs x et y est nul. Écrivons que, pour tout nombre réel α et pour tout nombre complexe β de module 1, le nombre réel :

ou encore :
par suite, le discriminant de ce trinôme du second degré en α est négatif ou nul pour tout nombre complexe β de module 1,

L'inégalité cherchée étant évidente lorsque (x|y) = 0, écartons ce cas. Nous obtenons alors l'inégalité de Schwarz en posant :

Lorsque l'espace vectoriel E est hermitien, on montre qu'il y a égalité dans l'inégalité de Schwarz si et seulement si les vecteurs x et y sont colinéaires.

Théorème 2. Soit E un espace vectoriel préhilbertien. L'application qui à tout vecteur x de E associe le nombre réel positif ∥x∥ = (x|x)1/2 est une semi-norme sur E, dite associée à la forme sesquilinéaire (xy) ↦ (x|y).

En effet, pour tout nombre complexe α, ∥αx∥ = |α| . ∥x∥. Pour tout couple (xy) de vecteurs de E :

D'autre part :
L'inégalité triangulaire :
découle des relations (1) et (2), de la relation Re(x|y) ≤ |(x|y)| et de l'inégalité de Schwarz.

La semi-norme précédente est une norme si et seulement si l'espace vectoriel E est hermitien. Le nombre réel positif ∥x∥ s'appelle alors norme hermitienne du vecteur x, et le nombre ∥x − y∥ distance her [...]

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Écrit par :

  • : ancien élève de l'École normale supérieure, agrégé de l'Université, professeur au lycée Buffon, Paris
  • : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales

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Pour citer l’article

Lucien CHAMBADAL, Jean-Louis OVAERT, « HILBERT ESPACE DE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 10 août 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/espace-de-hilbert/