ESPACE COMPLET
CONTINU & DISCRET
Dans le chapitre « Point de vue élémentaire » : […] Il faut distinguer un emploi adjectival du mot continu, principalement dans la locution application continue , de son emploi substantif, lorsqu'on parle du continu. Dans le premier emploi, continu désigne un caractère de régularité : les applications continues ne prennent jamais une valeur en un point qui contraste topologiquement avec les valeurs prises au voisinage de ce point. Continu s'oppose […] Lire la suite
FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES
Dans le chapitre « Convergences avec conditions sur les supports » : […] Les convergences avec conditions sur les supports jouent un rôle important dans les problèmes liés au calcul intégral et à ses extensions (mesures de Radon et distributions). Pour les mesures , considérons par exemple l'espace vectoriel E = K ( R ) des fonctions à valeurs complexes continues sur R et à support compact. On est amené à considérer les suites ( f n ) d'éléments de E convergeant vers […] Lire la suite
MÉTRIQUES ESPACES
Dans le chapitre « Complétion d'un espace métrique » : […] La construction, due à Cantor, des nombres réels comme classes d'équivalence de suites de Cauchy de nombres rationnels (« suites fondamentales » dans la terminologie cantorienne) se transpose sans modification à un espace métrique quelconque. Théorème de complétion . Pour tout espace métrique E, il existe un espace métrique complet E tel que E soit isométrique à un sous-espace partout dense de E […] Lire la suite
NORMÉS ESPACES VECTORIELS
Dans le chapitre « Espaces liés à l'intégration » : […] Soit [ a , b ] un intervalle fermé borné de R ; désignons par C([ a , b ], K) l'espace vectoriel des fonctions continues définies sur [ a , b ] à valeurs dans K ; pour tout nombre réel p ≥ 1, on peut considérer la norme : appelée norme de la convergence en moyenne d'ordre p . Ces normes sont deux à deux non équivalentes, et C([ a , b ], K) n'est complet pour aucune d'entre elles (alors que […] Lire la suite