DIOPHANTIENNES ÉQUATIONS

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Le premier et le second degré

Le premier degré

L'équation :

ou a, b, c sont entiers relatifs, se traite classiquement.

Si c n'est pas divisible par le plus grand commun diviseur de a et b, il n'y a pas de solution entière ; on peut donc supposer a et b premiers entre eux et utiliser la résolution de au bv = 1 (Bezout), d'où x = u0kb, v0c − ka, avec u0 et v0 solution particulière de l'équation de Bezout et k entier relatif quelconque.

La solution (u0, v0) peut se trouver par essais successifs, si a et b ne sont pas trop grands ; sinon, on développe a/b en fraction continuée et, si a/b = pn/qn est la n-ième réduite, on prend la (n − 1)-ième qui, au signe près, donne u0 = qn-1 et v0 = − pn-1. Par exemple, si 355 x + 113 = 1, on a 355/113 = [3, 7, 16], d'où pn-1/qn-1 = 22/7 et u0 = − 7, v0 = 22. Cela correspond aussi, si l'on veut, à l'application de l'algorithme d'Euclide au couple (a, b).

L'équation :

que nous écrirons A . X = c avec :
se résout, en supposant les ai premiers entre eux dans leur ensemble, par les points d'un réseau à (n − 1) dimensions  :
où U0 est solution particulière de l'équation de Bezout A . X = 1 et où B1, B2, ..., Bn-1 engendrent le module des solutions de A . X = 0.

Un système non homogène :

(i = 1, 2, ..., r) se discutera dans Zr, où on l'écrira :
avec Vi et C vecteurs colonnes de Zr. Une condition nécessaire et suffisante de résolution est que tous les déterminants d'ordre r extraits de la matrice des coordonnées de (C, V1, V2, ..., Vn) soient divisibles par le P.G.C.D. des déterminants d'ordre r extraits de la matrice des coordonnées de (V1, V2, ..., Vn).

Signalons que le théorème des restes chinois (≡ ai mod mi, pour i = 1, 2, ..., r) correspond à un cas non homogène, avec n = r + 1. Il se ramène, si les mi sont premiers deux à deux, à une seule équation :  a mod m, avec m = m1 m2 ... mr.

Généralités sur le second degré

La résolution en entiers de :

équation de conique à coefficients entiers, n'est intéressante que dans les cas parabolique ou hyperbolique. L'étude en a été faite par Euler et Lagrange. Dans le cas elliptique, en effet, i [...]


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Pour citer l’article

Jean-Louis COLLIOT-THÉLÈNE, Marcel DAVID, « DIOPHANTIENNES ÉQUATIONS », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 20 mai 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/equations-diophantiennes/