DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS

Les systèmes différentiels linéaires dans le champ réel

On se propose d'étudier l'existence et les propriétés des solutions du système différentiel linéaire :

pour i, j = 1, 2, ..., n, où les fonctions a_ij(t), b_i(t ) de la variable réelle t sont à valeurs réelles ou complexes. Introduisant la matrice n × n, c'est-à-dire à n lignes et à n colonnes, A(t ) = (a_ij(t )), et les vecteurs x = (x₁, x₂, ..., x_n), b = (b₁, b₂, ..., b_n), on peut écrire au lieu de (1) :

On notera que toute équation différentielle linéaire d'ordre n :

u^(j) désignant la dérivée d'ordre j de la fonction u(t ) peut être ramenée à la forme (1) ou (2) au moyen de substitutions x₁ = u, x₂ = u′, ..., x_n = u^(n-1), la matrice A et le vecteur b étant alors définis par :

Existence des solutions

Un premier résultat fondamental est donné par le théorème suivant : Le système

où A(t ) est une matrice n × n fonction continue de t ∈ [0, t₀] et où c est un vecteur donné, a une solution unique x(t ) définie pour t ∈ [0, t₀].

Il faut souligner qu'à l'équation (4) on a adjoint la condition initiale (5) ; on obtient ainsi un résultat d'existence et d'unicité.

On notera qu'au système (4), (5) on peut substituer l'équation intégrale équivalente :

qui se prête fort bien au calcul d'approximations successives inventé par Picard :avec x₀ = c (cf. espaces métriques, chap. 7).

On établit la convergence de la suite x_m(t ) vers une fonction x(t ) ; on montre ensuite que x(t ) est solution de (4), (5) et qu'il y a unicité.

Le même type d'argument permet d'établir le théorème suivant : Le système

où A(t) est une matrice n × n fonction continue de t ∈ [0, t₀], et D une matrice n × n constante donnée, a une solution, matrice n × n, X(t ), unique pour t ∈ [0, t₀].

On réservera, dans la suite, la notation X(t ) à cette solution quand on prend pour D la matrice identité I, et l'on dira que X(t ) est la matrice résolvante. Le théorème de Jacobi montre que :

ainsi la matrice X(t ) est toujours inversible.

Il est clair que la solution du système (4), (5) peut être représentée par x(t ) = X(t )c.

En prenant pour c les éléments de la base de l'espace v [...]

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