DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS
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Les systèmes différentiels linéaires dans le champ réel
On se propose d'étudier l'existence et les propriétés des solutions du système différentiel linéaire :


On notera que toute équation différentielle linéaire d'ordre n :


Existence des solutions
Un premier résultat fondamental est donné par le théorème suivant : Le système

Il faut souligner qu'à l'équation (4) on a adjoint la condition initiale (5) ; on obtient ainsi un résultat d'existence et d'unicité.
On notera qu'au système (4), (5) on peut substituer l'équation intégrale équivalente :


On établit la convergence de la suite xm(t ) vers une fonction x(t ) ; on montre ensuite que x(t ) est solution de (4), (5) et qu'il y a unicité.
Le même type d'argument permet d'établir le théorème suivant : Le système

On réservera, dans la suite, la notation X(t ) à cette solution quand on prend pour D la matrice identité I, et l'on dira que X(t ) est la matrice résolvante. Le théorème de Jacobi montre que :

Il est clair que la solution du système (4), (5) peut être représentée par x(t ) = X(t )c.
En prenant pour c les éléments de la base de l'espace v [...]
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Écrit par :
- Christian COATMELEC : membre de l'Académie des sciences, professeur à l'université de Paris-VI
- Maurice ROSEAU : membre de l'Académie des sciences, professeur de mécanique à l'université de Paris-VI-Pierre-et-Marie-Curie
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Pour citer l’article
Christian COATMELEC, Maurice ROSEAU, « DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 22 janvier 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/equations-differentielles/