ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES

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Équations affines

On étudiera en premier lieu le développement historique des systèmes d'équations affines.

Premier exemple

Problème 69 du Papyrus Rhind (Égypte), vers 1700 avant notre ère : « Trois boisseaux et demi de farine sont transformés en 80 pains. Dis-moi combien chaque pain contient de farine et quelle est leur force. »

Rappelons que le boisseau (heqat) mesure environ 4,5 litres. Il est divisé en 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64 de boisseau et contient 320 « ros » (ou parties). La « force » d'un pain est la quantité de pains que peut fournir un boisseau de farine. Si x est cette force et si y est la quantité de farine contenue dans un pain, x et y sont – avec les mêmes unités – inverses l'un de l'autre. Le texte donne pour la force :

et, pour la quantité de farine contenue dans un pain, 3 boisseaux et demi divisés par 80, ou 1 120 ros divisés par 80, donnent 1/32 de boisseau et 4 ros.

C'est un problème très élémentaire du type ax = b ou a = by. Toute la difficulté provient, au point de vue concret, du choix des unités de mesure et de leurs subdivisions, et, au point de vue abstrait, du calcul égyptien des fractions. Dans ce calcul, la notion de fraction générale n'est pas encore dégagée, ou, en langage actuel, l'ensemble Q+ n'est pas mis en évidence. À part la fraction 2/3, l'Égyptien ne calcule que par quantièmes ou fractions de numérateur 1. Ces errements se prolongeront très longtemps dans les littératures mathématiques grecque (collection héronienne), byzantine et occidentale.

Deuxième exemple

On peut trouver en Égypte des problèmes plus savants que le précédent, qui se ramènent au même type d'équation. Prenons cependant, dans la mathématique babylonienne, un deuxième exemple à peu près contemporain du précédent (E. Bruins et M. Rutten, Textes mathématiques de Suse) : « Un quart de la largeur, ajoute à la longueur : 7 mains... à 10... 10 c'est la somme. Largeur ? » En désignant la longueur par x, la largeur par y, on obtient le système x + y/4 = 7 ; x + y = 10. Voici la solution donnée dans la tablette : « Porte 7 [...]


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  • : agrégé de l'Université, membre correspondant de l'Académie internationale d'histoire des sciences

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Pour citer l’article

Jean ITARD, « ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 23 septembre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/equations-algebriques/