ÉQUATION, mathématique
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Équations algébriques
Ce sont les équations dont chaque terme est un polynôme, c'est-à-dire une expression obtenue en additionnant et en multipliant entre eux des nombres et des variables (en revanche, si les termes comportent des fonctions transcendantes, on dit que l'équation est transcendante). La nature du problème de la résolution d'une équation algébrique dépend de l'ensemble où l'on cherche les solutions : nombres entiers, nombres rationnels, nombres réels ou complexes, fonctions, etc.
Les équations algébriques les plus simples sont les équations linéaires à une variable ax = b, où a et b sont des nombres donnés ; elles ont été introduites et étudiées depuis la haute antiquité. Les systèmes de deux équations linéaires à deux variables x et y : x + y = a, x – y = b, sont tout aussi anciens. L'étude des systèmes d'équations linéaires est le domaine de l'algèbre linéaire.
Les équations polynomiales sont les équations algébriques à une variable, de la forme f(x) = 0, où f(x) = axn + bxn–1 +... est un polynôme à une variable : les coefficients a, b,... sont des nombres donnés, et le degré n est un entier naturel. On parle d'équation quadratique, cubique, quartique,... pour les équations de degré 2, 3, 4,... Les solutions de l'équation f(x) = 0 sont aussi appelées les racines ou les zéros de f ; en particulier, une racine n-ième du nombre a est une solution de l'équation xn = a. Une équation générale de degré n admet n solutions dans le corps des nombres complexes. Al-Khwārizmı̄ (ixe s.) a montré que les solutions de l'équation du second degré ax2 + bx + c = 0 s'expriment à l'aide d'une racine carrée du discriminant b2 – 4ac. François Viète (1540-1603) et Jérôme Cardan (1501-1576) ont résolu l'équation générale du troisième degré en extrayan [...]
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Écrit par :
- Gilles LACHAUD : directeur de recherche
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Pour citer l’article
Gilles LACHAUD, « ÉQUATION, mathématique », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 20 mai 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/equation-mathematique/