ÉQUATION, mathématique
Carte mentale
Élargissez votre recherche dans Universalis
Équations algébriques
Ce sont les équations dont chaque terme est un polynôme, c'est-à-dire une expression obtenue en additionnant et en multipliant entre eux des nombres et des variables (en revanche, si les termes comportent des fonctions transcendantes, on dit que l'équation est transcendante). La nature du problème de la résolution d'une équation algébrique dépend de l'ensemble où l'on cherche les solutions : nombres entiers, nombres rationnels, nombres réels ou complexes, fonctions, etc.
Les équations algébriques les plus simples sont les équations linéaires à une variable ax = b, où a et b sont des nombres donnés ; elles ont été introduites et étudiées depuis la haute antiquité. Les systèmes de deux équations linéaires à deux variables x et y : x + y = a, x – y = b, sont tout aussi anciens. L'étude des systèmes d'équations linéaires est le domaine de l'algèbre linéaire.
Les équations polynomiales sont les équations algébriques à une variable, de la forme f(x) = 0, où f(x) = axn + bxn–1 +... est un polynôme à une variable : les coefficients a, b,... sont des nombres donnés, et le degré n est un entier naturel. On parle d'équation quadratique, cubique, quartique,... pour les équations de degré 2, 3, 4,... Les solutions de l'équation f(x) = 0 sont aussi appelées les racines ou les zéros de f ; en particulier, une racine n-ième du nombre a est une solution de l'équation xn = a. Une équation générale de degré n admet n solutions dans le corps des nombres complexes. Al-Khwārizmı̄ (ixe s.) a montré que les solutions de l'équation du second degré ax2 + bx + c = 0 s'expriment à l'aide d'une racine carrée du discriminant b2 – 4ac. François Viète (1540-1603) et Jérôme Cardan (1501-1576) ont résolu l'équation générale du troisième degré en extrayan [...]
1
2
3
4
5
…
pour nos abonnés,
l’article se compose de 3 pages
Écrit par :
- Gilles LACHAUD : directeur de recherche
Classification
Autres références
« ÉQUATION, mathématique » est également traité dans :
DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Analyse numérique
Plus peut-être que tout autre domaine des mathématiques, les équations aux dérivés partielles étaient prédisposées à bénéficier de l'utilisation des ordinateurs, pour de nombreuses raisons. La plus importante est leur intervention dans de nombreux problèmes techniques. C'est d'ailleurs un problème d'hydrodynamique, dont la solution devait « améliorer » les premières bombes atomiques, qui a fait l' […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/derivees-partielles-equations-aux-analyse-numerique/#i_41502
DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Équations non linéaires
L'étude des équations aux dérivées partielles non linéaires se trouve à l' interface de nombreux problèmes scientifiques. En effet, la plupart des phénomènes de la physique ou des sciences de l'ingénieur sont non linéaires et une modélisation par des équations linéaires risque, dans certains cas, d'effacer des événements que les équations linéaires ne peuvent pas prendre en compte. Inversement, […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/derivees-partielles-equations-aux-equations-non-lineaires/#i_41502
DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Sources et applications
On se propose de décrire très sommairement quelques types classiques d'équations aux dérivées partielles issues principalement de la physique et de préciser leurs interventions dans des domaines variés des mathématiques. Alors que les solutions des équations différentielles ordinaires dépendent d'une ou de plusieurs constantes arbitraires, celles des équations et systèmes d'équations aux dérivées […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/derivees-partielles-equations-aux-sources-et-applications/#i_41502
DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Théorie linéaire
Il existe une théorie mathématique assez bien constituée des équations aux dérivées partielles linéaires, dont nous allons essayer de donner une idée. En contraste, les équations non linéaires présentent un foisonnement de problèmes et de méthodes dont peu sont générales. Sans que nous le précisions à chaque fois, certains des résultats que nous allons donner dans le cas linéaire se généralisent a […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/derivees-partielles-equations-aux-theorie-lineaire/#i_41502
DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS
Les équations différentielles sont apparues historiquement tout au début du développement de l'analyse, en général à l'occasion de problèmes de mécanique ou de géométrie. Si, dans les premières investigations, l'on s'attachait surtout à en calculer les solutions au moyen de fonctions déjà connues, très vite ce point de vue s'affirma trop étroit ; c'est qu'en effet le problème fondamental de la thé […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/equations-differentielles/#i_41502
DIOPHANTIENNES ÉQUATIONS
Diophante d'Alexandrie, vers les années 250 de notre ère, fut le premier à rechercher systématiquement les solutions en nombres entiers, ou rationnels, d'une équation ou d'un système d'équations polynomiales à coefficients entiers. Bien que ce ne soit qu'avec Fermat (1601-1665) que les méthodes utilisées pour résoudre ces équations prirent un aspect vraiment arithmétique, c'est-à-dire faisant plei […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/equations-diophantiennes/#i_41502
ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES
Dès la plus haute antiquité, on rencontre, à l'occasion de problèmes concrets, des exemples de résolution d'équations du premier et du second degré, et, jusqu'au début du xix e siècle, l'étude des équations constitue l'unique préoccupation des algébristes. Le développement de la théorie est étroitement lié aux extensions successives de la notion de nombre : introduction des nombres négatifs, des […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/equations-algebriques/#i_41502
INTÉGRALES ÉQUATIONS
Les premières équations intégrales furent obtenues par Daniel Bernoulli vers 1730 dans l'étude des oscillations d'une corde tendue (cf. analyse mathématique , chap. 6). Après l'introduction du noyau de Green, il fallut attendre les dernières années du xix e siècle, avec les travaux de H. A. Schwarz, de H. Poincaré, de V. Volterra et surtout ceux de I. Fredholm, pour disposer de résultats généraux […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/equations-integrales/#i_41502
ONDES, physique
Dans le chapitre « Caractéristiques générales d’une onde » : […] Christiaan Huygens, en particulier dans son Traité de la lumière (1690), souligne les analogies entre les phénomènes lumineux et sonores et introduit des « sortes de mouvement » qu’il appelle « ondes, à la ressemblance de celles que l’on voit se former dans l’eau quand on y jette une pierre... » Ses observations l’amènent à poser deux principes explicatifs qui gardent au xxi e siècle tout leur i […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/ondes-physique/#i_41502
PRIX ABEL 2016
Dans le chapitre « La conjecture de Shimura-Taniyama-Weil » : […] L’équation d’une courbe elliptique peut être mise sous une forme simple : y 2 = x 3 + ax 2 + bx + c , où a , b et c sont des réels. Prenons l’exemple de y 2 = x 3 + 5 x 2 + 6 x + 5 dont on peut tracer le graphe dans le plan cartésien ( x , y ) . Si l’on trace une droite sécante à cette courbe, elle coupe cette dernière en deux points, P et Q, et, dans l’exemple choisi, elle la recoup […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/prix-abel-2016/#i_41502
RÉFLEXIONS SUR LA RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS (J. L. Lagrange)
Joseph Louis Lagrange (1736-1813) publie en 1770 les Réflexions sur la résolution algébrique des équations dans les Mémoires de l'Académie royale des sciences et belles-lettres de Berlin , académie où il avait succédé à Leonhard Euler comme directeur des mathématiques. Ce texte commence par un hommage appuyé aux travaux des fondateurs de l'analyse : « La théorie des équations est de toutes les p […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/reflexions-sur-la-resolution-algebrique-des-equations/#i_41502
SIMULATION ET DÉVELOPPEMENT (psychologie)
Dans le chapitre « Systèmes dynamiques et trajectoires de développement » : […] Les modélisations en systèmes dynamiques constituent une seconde approche. Elles sont nécessaires parce que le fonctionnement psychologique et son développement sont des phénomènes complexes. L’usage du terme « complexité » n’est pas ici métaphorique. Il signifie très précisément que les comportements et les acquisitions des enfants comme des adultes sont déterminés par l’interaction de multiples […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/simulation-et-developpement/#i_41502
VOISIN CLAIRE (1962- )
Née en 1962, Claire Voisin est une mathématicienne française, ancienne élève de l'École normale supérieure. Après avoir passé l'agrégation, elle prépare une thèse à l'université Paris-Sud, sous la direction d'Arnaud Beauville. À la suite de sa soutenance, en 1986, elle est immédiatement recrutée au CNRS, où elle travaillera une trentaine d'années, d'abord à Orsay puis à l'Institut de mathématiqu […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/claire-voisin/#i_41502
Voir aussi
Pour citer l’article
Gilles LACHAUD, « ÉQUATION, mathématique », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 22 novembre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/equation-mathematique/