PICARD ÉMILE (1856-1941)

Les théorèmes de Picard en théorie des fonctions

Le plus célèbre théorème de Picard figure dans une note aux Comptes rendus de l'Académie des sciences (C.R.A.S.), datée du 19 mai 1879, sous sa forme primitive, et dans les Annales de l'École normale supérieure de 1880 sous la forme suivante : Si z₀ est point singulier essentiel isolé de la fonction méromorphe f, celle-ci, dans un voisinage de z₀, ne peut omettre que deux valeurs au plus. La beauté du résultat, le meilleur possible comme le montre l'exemple simple f (z) = th z, z₀ = ∞, est encore rehaussée par une démonstration savante et merveilleusement habile, où le but est atteint alors qu'il semble lointain.

Aucun théorème sans doute ne fut plus stimulant pour la théorie des fonctions : on chercha une démonstration plus directe ; on remplaça les points où f prend une valeur donnée par ceux où f et une fonction algébrique donnée ont une valeur commune ; on restreignit le voisinage de z₀ à un angle de sommet z₀ ; enfin on affina le théorème en ajoutant à l'alternative « f prend ou omet la valeur a » une évaluation de |f (z) − a|, ce qui mena le Finlandais Rolf Nevanlinna à remplacer la notion de valeur omise par celle, plus nuancée, de défaut.

D'après le théorème de Picard sur l'uniformisation, paru pour la première fois dans une note aux C.R.A.S. du 19 février 1883, si z₀ est point singulier essentiel isolé de deux fonctions méromorphes, celles-ci ne peuvent pas être liées par une relation algébrique de genre > 1 ; autrement dit, une relation algébrique de genre > 1 ne peut pas être uniformisée par des fonctions méromorphes à points singuliers isolés, alors qu'elle peut toujours l'être par des fonctions méromorphes plus générales, celles que Poincaré découvrit et appela fuchsiennes.

1  2  3  4  5 …
pour nos abonnés,
l’article se compose de 4 pages