ÉLASTICITÉ

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Contraintes, 1

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Contraintes, 3

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Contraintes : équations

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Tenseur des contraintes

Dans tout ce qui suit, les corps étudiés seront repérés par rapport à un système d'axes cartésiens orthogonaux (Ox1x2x3), mais toutes les équations écrites resteront valables dans les autres systèmes de coordonnées. Les correspondances d'un système donné dans un autre figurent dans les ouvrages spécialisés indiqués dans la bibliographie. Dans le système d'axes orthogonaux (Ox1x2x3), on utilisera, pour alléger l'écriture, la convention de l'indice muet et celle de l'indice franc. Soit, par exemple, A1, A2, A3 les projections sur les axes Ox1, Ox2, Ox3 d'un vecteur A ; la convention de l'indice muet consiste, lorsqu'un indice littéral est répété deux fois dans un monôme, à remplacer ce dernier par la somme de tous les termes obtenus en donnant à cet indice les valeurs 1, 2, 3 dans ce monôme. Ainsi AiBi représente la somme

c'est-à-dire le produit scalaire des vecteurs A et B. Un indice non muet est dit franc ; il ne peut apparaître qu'une seule fois dans un même monôme. Ainsi, dans Ai = LijBj, i est un indice franc et j est muet, et cette formule représente, en fait, les trois égalités classiques

Toujours par souci de concision, on notera par une virgule suivie d'un indice une dérivée partielle. Ainsi, A2,3 désigne la dérivée partielle ∂A2/∂x3 de A2 par rapport à x3.

Définition des efforts intérieurs de cohésion

Considérons un corps (S) en équilibre sous l'action d'un système de forces extérieures F1...Fn données qui sont soit des forces réparties sur tout ou partie de la surface extérieure de (S), soit des forces de volume (pesanteur, champ électromagnétique, etc.). Dans ces conditions, des efforts intérieurs à (S) doivent être pris en considération, comme le montre l'analyse suivante. Coupons le corps (S) en deux parties (S1) et (S2), par une frontière (Σ) passant par M ; soit n le vecteur unitaire normal à (Σ) en M dirigé vers l'extérieur de (S1), c'est-à-dire vers l'intérieur de (S2). Pour que l'équilibre de (S1) ne soit pas détruit par la coupure sous l'effet des forces Fi+1...Fn agissant sur lui, des actions réparties sur (Σ) doivent être exe [...]

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Pour citer l’article

Michel KOTCHARIAN, Michel CAZIN, « ÉLASTICITÉ », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 10 septembre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/elasticite/