ÉLASTICITÉ

Carte mentale

Élargissez votre recherche dans Universalis

Tenseur des contraintes

Dans tout ce qui suit, les corps étudiés seront repérés par rapport à un système d'axes cartésiens orthogonaux (Ox1x2x3), mais toutes les équations écrites resteront valables dans les autres systèmes de coordonnées. Les correspondances d'un système donné dans un autre figurent dans les ouvrages spécialisés indiqués dans la bibliographie. Dans le système d'axes orthogonaux (Ox1x2x3), on utilisera, pour alléger l'écriture, la convention de l'indice muet et celle de l'indice franc. Soit, par exemple, A1, A2, A3 les projections sur les axes Ox1, Ox2, Ox3 d'un vecteur A ; la convention de l'indice muet consiste, lorsqu'un indice littéral est répété deux fois dans un monôme, à remplacer ce dernier par la somme de tous les termes obtenus en donnant à cet indice les valeurs 1, 2, 3 dans ce monôme. Ainsi AiBi représente la somme

c'est-à-dire le produit scalaire des vecteurs A et B. Un indice non muet est dit franc ; il ne peut apparaître qu'une seule fois dans un même monôme. Ainsi, dans Ai = LijBj, i est un indice franc et j est muet, et cette formule représente, en fait, les trois égalités classiques

Toujours par souci de concision, on notera par une virgule suivie d'un indice une dérivée partielle. Ainsi, A2,3 désigne la dérivée partielle ∂A2/∂x3 de A2 par rapport à x3.

Définition des efforts intérieurs de cohésion

Considérons un corps (S) en équilibre sous l'action d'un système de forces extérieures F1...Fn données qui sont soit des forces réparties sur tout ou partie de la surface extérieure de (S), soit des forces de volume (pesanteur, champ électromagnétique, etc.). Dans ces conditions, des efforts intérieurs à (S) doivent être pris en considération, comme le montre l'analyse suivante. Coupons le corps (S) en deux parties (S1) et (S2), par une frontière (Σ) passant par M ; soit n le vecteur unitaire normal à (Σ) en M dirigé vers l'extérieur de (S1), c'est-à-dire vers l'intérieur de (S2). Pour que l'équilibre de (S1) ne soit pas détruit par la coupure sous l'effet des forces Fi+1...Fn agissant sur lui, des actions réparties sur (Σ) doivent être exercées par (S2) sur (S1), ces actions étant dues aux forces F1...Fi agissant sur (S2). On admet que ces actions sont des actions de contact et que leur répartition sur (Σ) est continue. Elles sont donc représentées par un champ de forces défini sur (Σ) ayant, en chaque point de (Σ), une densité superficielle de forces notée T. Ce vecteur T ne dépend que de M et de n, on l'écrit T (M, n) et il est fonction, a priori, de cinq paramètres : les trois coordonnées de M et les paramètres fixant la direction de n. Le vecteur T (M, n) s'appelle le vecteur contrainte en M pour la direction n ou vecteur contrainte en M sur une facette normale à n. Le scalaire n ( T (M, n) = Tn est la contrainte normale en M pour la direction n ou sur une facette normale à n. Si Tn est positif, on dit qu'au point M, et pour la direction n, le matériau subit une tension ; si Tn est négatif, on dit qu'il subit une compression. Le vecteur

est la contrainte tangentielle en M ou contrainte de glissement ou de cisaillement pour la direction n au point M.

Contraintes, 1

Dessin : Contraintes, 1

Contraintes, 1 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

Afficher

Introduction du tenseur des contraintes

On peut écrire la loi fondamentale de la dynamique pour un domaine (Ω) intérieur à (S) limité par une surface (Σ) fermée. Soit, à l'instant considéré, γ (M) l'accélération d'un point M de (S). Supposons que les forces données extérieures à (S) et s'exerçant sur (Ω) soient définies par une densité volumique f (M) ; il ne peut pas, en effet, y avoir de telles forces extérieures de surface appliquées sur (Ω), puisque (Ω) est intérieur à (S) et les seules forces de surfaces agissant sur (Ω) sont des contraintes. La loi fondamentale appliquée à (Ω) dans le repère (Ox1x2x3) absolu ou non (dans ce dernier cas f(M) comprend les forces d'inertie d'entraînement et complémentaires) se traduit par :

dσ est un élément d'aire de (Σ) et où dμ et dn sont respectivement la masse et le volume élémentaires en un point quelconque M de (Ω) (dμ = ρ dv si ρ est la masse volumique). Si, en particulier, on fait γ = 0 dans ces deux équations, le corps considéré est en équilibre ; l'équation (1) indique que la somme des forces appliquées à (Ω) est nulle, l'équation (2) que la somme des moments de ces forces au point O est nulle.

L'application de l'équation (1) au domaine (Ω) particulier constitué par un tétraèdre ayant pour sommet O et trois des faces dans les plans de coordonnées permet d'écrire les contraintes en un point M de la face quelconque ABC de (Ω) ayant pour normale n ; on obtient ainsi T (M, n) = Tiki avec Ti = σijnj. Les neuf σij sont des nombres et les ki sont les vecteurs unitaires k1, k2 et k3 du repère (Ox1x2x3). Les quantités σij sont les composantes des contraintes en M, mais sur des facettes parallèles aux plans x2x3, x3x1, x1x2. Connaissant les σij, les relations T (M, n) = Tiki et Ti = σijnj (où les nj sont les cosinus directeurs de n) permettent de calculer les composantes de la contrainte agissant sur tout plan quelconque passant par M, quelle que soit son inclinaison (le plan ABC par exemple). Ainsi, les composantes de T (M, n) sont des formes linéaires et homogènes des composantes de n, et l'opérateur linéaire faisant passer de n à T, tenseur du second ordre, est appelé tenseur des contraintes en M et noté {C}. Dans le système d'axes (Ox1x2x3), ce tenseur est défini par les composantes σij, qui sont les éléments de la matrice (σij), les indices i et j désignant respectivement les numéros des lignes et des colonnes. Le tenseur {C} varie avec le point M considéré ; on a donc, en fait, un champ de tenseurs défini sur le solide. Si le tenseur est indépendant de M, on dit que le champ des contraintes est homogène.

Contraintes, 2

Dessin : Contraintes, 2

Contraintes, 2 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

Afficher

Les σij étant les composantes des contraintes en M sur des facettes parallèles aux plans de coordonnées, on peut les représenter graphiquement sur les faces d'un cube élémentaire parallèles à ces plans. Pour les faces du cube élémentaire perpendiculaires à l'axe Ox2, par exemple, la composante normale de la contrainte est désignée par σ22 et ses deux composantes tangentielles par σ23 et σ21. D'une manière générale, la composante σij est celle agissant sur la face perpendiculaire à l'axe Oxi et dirigée suivant l'axe Oxj. Toutes les composantes pour lesquelles i = j sont donc des contraintes normales.

Contraintes, 3

Dessin : Contraintes, 3

Contraintes, 3 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

Afficher

La matrice (σij) associée au tenseur {C} est écrite en (3) du tableau. Parfois, les contraintes normales sont notées σ (comme dans ce texte) mais les contraintes tangentielles sont notées τ pour éviter les confusions. On n'emploiera pas cette notation ici pour alléger l'écriture. La relation T (M, n) = (σijnjki développée en (4) permet de calculer les composantes de la contrainte T (M, n) sur toute facette de normale unitaire n, les composantes de n étant n1, n2 et n3 sur les axes Ox1, Ox2, Ox3.

Contraintes : équations

Dessin : Contraintes : équations

tabl. 1 – Équations relatives aux contraintes 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

Afficher

Équations de l'équilibre ou du mouvement

En supposant qu'à l'instant considéré γ est identiquement nul, on obtient les trois [...]

1  2  3  4  5
pour nos abonnés,
l’article se compose de 13 pages

Médias de l’article

Contraintes, 1

Contraintes, 1
Crédits : Encyclopædia Universalis France

dessin

Contraintes, 2

Contraintes, 2
Crédits : Encyclopædia Universalis France

dessin

Contraintes, 3

Contraintes, 3
Crédits : Encyclopædia Universalis France

dessin

Contraintes : équations

Contraintes : équations
Crédits : Encyclopædia Universalis France

dessin

Afficher les 18 médias de l'article


Écrit par :

Classification

Autres références

«  ÉLASTICITÉ  » est également traité dans :

ARCHITECTURE (Thèmes généraux) - Architecture, sciences et techniques

  • Écrit par 
  • Antoine PICON
  •  • 7 907 mots
  •  • 6 médias

Dans le chapitre « Le siècle de l'industrie »  : […] Au cours du xix e  siècle se produit une diversification sans précédent des techniques de construction. Au sein de cet ensemble de transformations, le développement de l'architecture métallique constitue le phénomène le plus marquant. Aux premiers édifices faisant appel à la fonte succèdent des constructions en fer puis en acier. Tandis que la fonte, qui résiste mal aux efforts de traction, est p […] Lire la suite

CONSTRUCTIONS MÉTALLIQUES

  • Écrit par 
  • François CIOLINA
  •  • 5 328 mots
  •  • 5 médias

Dans le chapitre «  Les produits de base »  : […] L'acier est livré au constructeur sous forme de profilés. Ceux-ci comportent des profilés normalisés, IPE (profil européen en forme de I), utilisés pour les éléments sollicités en flexion, HE (en forme de E), utilisés pour ceux qui sont sollicités en compression, UPN (en forme de U), permettant de reconstituer des profils, des cornières en forme d'équerre, à ailes égales ou inégales, servant à co […] Lire la suite

DUHEM PIERRE (1861-1916)

  • Écrit par 
  • Michel PATY
  •  • 3 009 mots

Dans le chapitre « L'œuvre scientifique »  : […] Très tôt orienté vers les travaux de Gibbs et de Helmholtz, Duhem proposa, dès ses premières contributions, d'utiliser la notion de potentiel thermodynamique (interne), notion reprise des fonctions caractéristiques des fluides de François Massieu et des énergies libres de Gibbs et de Helmholtz ; il put ainsi, en faisant appel à la méthode des travaux virtuels, traiter de nombreux problèmes de phy […] Lire la suite

ÉLASTINE

  • Écrit par 
  • William HORNEBECK, 
  • Ladislas ROBERT
  •  • 1 936 mots
  •  • 2 médias

Un tissu animal élastique est défini comme un tissu riche en élastine , possédant de ce fait des propriétés physiques similaires à celles du caoutchouc. Le ligament large de la nuque des ongulés et leurs cordes vocales, l'aorte et les artères pulmonaires de tous les primates sont considérés comme des tissus élastiques. Les tissus élastiques du cartilage de l'oreille et de l'épiglotte sont des fo […] Lire la suite

ÉLASTOMÈRES ou CAOUTCHOUCS

  • Écrit par 
  • Christian HUETZ DE LEMPS, 
  • Françoise KATZANEVAS
  •  • 7 914 mots
  •  • 9 médias

Dans le chapitre « Caractéristiques fondamentales des élastomères »  : […] Bien que faisant partie d'une seule et même grande famille, celle des polymères, les élastomères ont un comportement très particulier et très différent des matières plastiques, ou plastomères. Pour qu'un matériau soit mécaniquement reconnu comme un caoutchouc, il doit être : – souple, c'est-à-dire de faible rigidité (quelques mégapascals) ; – hautement déformable, c'est-à-dire capable de supporte […] Lire la suite

FER - L'élément métallique

  • Écrit par 
  • Simone TALBOT-BESNARD
  •  • 2 794 mots
  •  • 10 médias

Dans le chapitre « Caractéristiques mécaniques »  : […] La limite d'élasticité telle qu'on la définit habituellement dans un essai de traction est la force pour laquelle les allongements cessent d'être proportionnels à l'effort : c'est la limite d'élasticité proportionnelle σ p . Quand le fer est à l'état recuit ou vieilli, on observe généralement une limite d'élasticité supérieure LES et une limite d'élasticité inférieure LEI (fig. 2) . La limite d'é […] Lire la suite

GELS

  • Écrit par 
  • Mireille ADAM, 
  • Michel DELSANTI
  •  • 3 431 mots
  •  • 4 médias

Dans le chapitre « Propriétés structurales »  : […] En présence d'un excès de solvant, le gel absorbe les molécules de solvant jusqu'à l'équilibre de gonflement, qui est tel que le potentiel chimique du solvant dans la phase gel est égal à celui du solvant pur. À l'équilibre de gonflement, le gel modèle est un empilement homogène de chaînes polymériques reliées entre elles par des nœuds chimiques . La chaîne, entre deux points de réticulation, a de […] Lire la suite

GERMAIN SOPHIE (1776-1831)

  • Écrit par 
  • Jean MEYER
  •  • 256 mots

Née à Paris, Sophie Germain suivit les cours de l'École polytechnique par correspondance (car les femmes n'y étaient pas admises). S'intéressant aux mathématiques, elle devint l'amie de J. L. Lagrange et de C. F. Gauss, avec qui elle correspondit sous le pseudonyme masculin de M. Leblanc avant de révéler sa véritable identité. Gauss l'estimait tellement qu'il la recommanda pour un titre honorifiqu […] Lire la suite

LITHOSPHÈRE

  • Écrit par 
  • Marc DAIGNIÈRES, 
  • Adolphe NICOLAS
  •  • 6 967 mots
  •  • 10 médias

Dans le chapitre « La lithosphère élastique »  : […] Sous une charge pondérale localisée et importante (île volcanique, par exemple), mise en place de façon rapide à l'échelle des temps géologiques, puis maintenue, le plancher océanique fléchit et les effets topographiques associés sont observables à grande distance (quelques centaines de kilomètres). Ce phénomène est décrit de façon très satisfaisante par un modèle de flexion d'une plaque mince éla […] Lire la suite

MACROMOLÉCULES

  • Écrit par 
  • Michel FONTANILLE, 
  • Yves GNANOU, 
  • Marc LENG
  •  • 13 786 mots
  •  • 6 médias

Dans le chapitre « Quatre régions de viscoélasticité en fonction de la température »  : […] Si l'étude du comportement des solutions de fluides polymères est déterminante pour la connaissance des caractéristiques moléculaires d'un échantillon, pour sa mise en forme, pour sa rhéologie ou encore pour la réalisation de quelques applications bien ciblées, il est aussi essentiel de cerner les propriétés des polymères à l'état solide pour pouvoir les utiliser comme matériaux. À une températur […] Lire la suite

Voir aussi

Pour citer l’article

Michel CAZIN, Michel KOTCHARIAN, « ÉLASTICITÉ », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 05 décembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/elasticite/