DYNAMIQUE

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Efforts s'exerçant sur un ensemble mécanique

Efforts extérieurs à un ensemble matériel

L'expérience quotidienne montre que les ensembles matériels ont des actions les uns sur les autres : l'aimant attire le fer, un objet quelconque abandonné à lui-même est attiré vers la Terre, une marche d'escalier après un long usage présente une usure notable, la molette du briquet en frottant sur la pierre provoque une étincelle, etc. Dans les deux premiers exemples (aimant et chute des corps), les ensembles matériels qui interagissent ne sont pas en contact ; on dit que les actions sont à distance. Au contraire, dans les deux derniers exemples, les interactions des deux ensembles matériels sont dues au fait que les molécules de l'un et de l'autre sont en contact ; on a des actions dites de contact qui traduisent de manière idéale les faits expérimentaux.

On admet généralement les principes suivants :

Principe I. – Les efforts exercés par un ensemble matériel Σ1 sur un ensemble Σ2 disjoint de Σ1 (c'est-à-dire sans élément commun avec Σ1) forment un torseur que l'on note {Σ1 → Σ2}.

Principe II. – Étant donné trois ensembles disjoints Σ1, Σ2, Σ3,

Le principe II s'étend de proche en proche à un nombre fini quelconque n d'ensembles disjoints.

On appelle alors torseur des efforts extérieurs agissant sur un ensemble matériel Σ le torseur des actions exercées sur Σ par tous les ensembles matériels de l'Univers, disjoints de Σ et constituant l'ensemble complémentaire de Σ noté σ̄. Ce torseur joue un rôle essentiel en dynamique ; nous le noterons : {σ̄ → Σ}.

Ce torseur {σ̄ → Σ} fait en général intervenir des torseurs d'efforts relatifs à différentes lois physiques (attraction newtonienne, actions électriques, actions magnétiques, actions de contact...). Suivant le système Σ considéré, certaines de ces lois donneront des torseurs prépondérants par rapport à d'autres. Par exemple, si Σ est un électron, l'action électrique exercée par un autre électron est 4,17 . 1042 fois plus grande que l'action de gravitation.

L'ensemble des lois physiques et des éléments de σ̄ dont on tient compte constitue un schéma d'étude dont l'adéquation doit être vérifiée, compte tenu de l'ordre de grandeur des termes négligés, par rapport à l'approximation recherchée. La deuxième partie du second principe permet d'effectuer une partition sur un ensemble Σ, c'est-à-dire de le considérer comme la réunion de sous-ensembles disjoints ; le torseur {σ̄ → Σ} sera la somme des torseurs d'efforts exercés par σ̄ sur chacun des sous-ensembles de la partition effectuée. On est donc ramené à définir le torseur des efforts exercés par σ̄ sur un point M ou le voisinage d'un point M. On admettra que ces torseurs d'efforts extérieurs à un ensemble matériel Σ sont définis, d'une part, par des densités de forces fi (M) et des densités de couples Cα (M) relatives à différentes mesures (fixées chaque fois par la loi physique considérée) et, d'autre part, par des torseurs d'efforts concentrés {Tj}. Les éléments de réduction du torseur des efforts extérieurs à Σ seront donc de la forme :

ce qui s'écrit sous forme condensée (notations évidentes) :

Un exemple courant de torseurs d'efforts concentrés est celui de deux solides rigides en contact ponctuel ou, plus exactement, dont le contact a lieu sur une surface de mesure négligeable. Comme exemple simple de densité de force définie par unité de mesure de surface, on peut citer les contraintes σ(M) conduisant à l'effort élémentaire σ(M)dS(M) agissant sur le voisinage de M. L'accélération g (M) due à la pesanteur constitue un exemple de densité de force définie par unité de mesure de masse : l'effort g(M)dm(M) agit, du fait de l'attraction terrestre, sur le voisinage de M.

Efforts intérieurs

On donne le nom d'effort intérieur à un ensemble matériel Σ à tout effort s'exerçant entre deux sous-ensembles quelconques de Σ. On ne définira pas ici les efforts intérieurs à un milieu continu, pour lesquels les principes admis pour les efforts extérieurs ne sont pas adéquats. Cependant, il faut bien noter que, si l'on effectue une partition d'un milieu continu, les interactions entre deux éléments de la partition, devenant des efforts extérieurs à chacun de ces éléments, se représentent (globalement) par un torseur.

La propriété pour un système d'efforts d'être intérieur ou extérieur n'est pas intrinsèque au système matériel considéré ; les interactions entre deux ensembles Σ1 et Σ2 sont des efforts extérieurs à Σ1 et à Σ2 mais des efforts intérieurs à la réunion [...]

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  • : professeur au Conservatoire national des arts et métiers
  • : professeur à l'École nationale supérieure de l'enseignement technique

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Pour citer l’article

Michel CAZIN, Jeanine MOREL, « DYNAMIQUE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 10 mai 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/dynamique/