DIVISIBILITÉ

Divisibilité dans les corps quadratiques

On ne donnera ici qu'un aperçu de la théorie de la divisibilité dans les corps quadratiques. Si l'on considère les nombres de la forme :

où d est entier non carré parfait, et u, v, w entiers relatifs (avec w ≥ 1), on définit un corps, appelé corps quadratique Q (√ d). Dans ce corps, on appelle entiers les éléments qui vérifient une équation du type α² + a₁α + a₂ = 0, a₁ et a₂ étant des entiers ; et on démontre que ces entiers sont donnés par les formules :

Ces entiers forment un sous-anneau de Q (√ d), et on peut définir dans cet anneau la divisibilité, compliquée par le fait qu'il existe d'autres unités que + 1 ou − 1. Une unité quadratique est en effet racine d'une équation (cf. équations diophantiennes) :

Il y a une infinité d'unités dans Q (√ d) pour d ≥ 2 et, pour d ≤ − 1, il n'y en a pas d'autre possible que 1, − 1 ; i, − i et les racines troisièmes de l'unité j, j², − j et − j². Une unité divise tout entier ; on définira donc les nombres premiers comme étant ceux qui ne sont divisibles que par eux ou par les unités du corps. De même, a et b seront dits premiers entre eux si leurs seuls diviseurs communs sont les unités ; on écrit encore (a, b) = 1 mais c'est un symbole car 1 n'est plus le P.G.C.D. au sens ordinaire. Sans entrer dans le détail, signalons qu'alors le théorème de Gauss (a |bc et (a, b) = 1 entraînent a |c) peut avoir lieu, ou ne pas avoir lieu, suivant d. Lorsque ce théorème a lieu, Q (√ d) est appelé corps quadratique simple ; en découle une décomposition unique en facteurs premiers (à des facteurs unités près). Par exemple, il en est ainsi pour d = − 1, d = 2, d = − 3, mais pas pour d = − 5 ou d = 10 (on a par exemple :

et on vérifie qu'il n'y a pas d'unités permettant de passer d'une décomposition à l'autre). Les seuls cas quadratiques simples, pour d < 0, sont les cas où − d = 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163 (résultat de Stark et Baker en 1966 ; avant eux on avait établi qu'il en existait peut-être encore un, avec − d > 5 × 10⁹). Une autre notion peut s'étendre à Q (√ d) ; il s'agit de la division euclidienne, qui fait intervenir les normes des nombres quadratiques, soit N (α) = α α (où α est le conjugué de α). Q (√ d) est dit euclidien si, pour tout α₁ et α₂ entiers, on peut écrire α₁ = βα₂ + γ avec N(γ) < N(α₂). La propriété Q (√ d) « euclidien » entraîne évidemment Q (√ d) « simple », mais pas réciproquement. On a démontré que les seuls cas euclidiens correspondent à d = − 11, − 7, − 3, − 2, − 1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57 et 73. Le cas d = − 1 est le cas, bien connu, des entiers de Gauss a + bi où a et b sont des entiers relatifs ordinaires.

— Marcel DAVID

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Écrit par

Marcel DAVID : professeur à la faculté des sciences de Reims

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Pour citer cet article

Marcel DAVID. DIVISIBILITÉ [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

DAVID, M.. DIVISIBILITÉ. Encyclopædia Universalis. (consulté le )

DAVID, Marcel. « DIVISIBILITÉ ». Encyclopædia Universalis. Consulté le .

DAVID, Marcel. « DIVISIBILITÉ ». Encyclopædia Universalis [en ligne], (consulté le )

Autres références

ALGÉBRIQUES STRUCTURES
- Écrit par Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
- 29 463 mots
...un anneau unifère commutatif, e_⊤ l'élément neutre de la loi l_⊤, e_⊥ l'élément neutre de la loi l_⊥, et a et b deux éléments de E. On dit que bdivisea, ou que b est un diviseur de a, ou que a est un multiple de b, s'il existe dans A au moins un élément q tel que a = b...
ANNEAUX COMMUTATIFS
- Écrit par Jean-Luc VERLEY
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NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres algébriques
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