DIVISIBILITÉ

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Divisibilité dans les corps quadratiques

On ne donnera ici qu'un aperçu de la théorie de la divisibilité dans les corps quadratiques. Si l'on considère les nombres de la forme :

d est entier non carré parfait, et u, v, w entiers relatifs (avec ≥ 1), on définit un corps, appelé corps quadratique Q (d). Dans ce corps, on appelle entiers les éléments qui vérifient une équation du type α2 + a1α + a2 = 0, a1 et a2 étant des entiers ; et on démontre que ces entiers sont donnés par les formules :

Ces entiers forment un sous-anneau de Q (d), et on peut définir dans cet anneau la divisibilité, compliquée par le fait qu'il existe d'autres unités que + 1 ou − 1. Une unité quadratique est en effet racine d'une équation (cf. équations diophantiennes) :

Il y a une infinité d'unités dans Q (d) pour ≥ 2 et, pour ≤ − 1, il n'y en a pas d'autre possible que 1, − 1 ; i, − i et les racines troisièmes de l'unité j, j2, − j et − j2. Une unité divise tout entier ; on définira donc les nombres premiers comme étant ceux qui ne sont divisibles que par eux ou par les unités du corps. De même, a et b seront dits premiers entre eux si leurs seuls diviseurs communs sont les unités ; on écrit encore (ab) = 1 mais c'est un symbole car 1 n'est plus le P.G.C.D. au sens ordinaire. Sans entrer dans le détail, signalons qu'alors le théorème de Gauss (|bc et (ab) = 1 entraînent a |c) peut avoir lieu, ou ne pas avoir lieu, suivant d. Lorsque ce théorème a lieu, Q (d) est appelé corps quadratique simple ; en découle une décomposition unique en facteurs premiers (à des facteurs unités près). Par exemple, il en est ainsi pour d = − 1, d = 2, d = − 3, mais pas pour d = − 5 ou d = 10 (on a par exemple :

et on vérifie qu'il n'y a pas d'unités permettant de passer d'une décomposition à l'autre). Les seuls cas quadratiques simples, pour < 0, sont les cas où − d = 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163 (résultat de Stark et Baker en 1966 ; avant eux on avait établi qu'il en existait peut-être encore un, avec − d > 5 × 109). Une autre notion peut s'étendre à Q (d) ; il s'agit de la division euclidienne, qui [...]

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Pour citer l’article

Marcel DAVID, « DIVISIBILITÉ », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 05 juin 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/divisibilite/