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DIVISIBILITÉ

Divisibilité dans les corps quadratiques

On ne donnera ici qu'un aperçu de la théorie de la divisibilité dans les corps quadratiques. Si l'on considère les nombres de la forme :

où d est entier non carré parfait, et u, v, w entiers relatifs (avec w ≥ 1), on définit un corps, appelé corps quadratique Q (√ d). Dans ce corps, on appelle entiers les éléments qui vérifient une équation du type α2 + a1α + a2 = 0, a1 et a2 étant des entiers ; et on démontre que ces entiers sont donnés par les formules :

Ces entiers forment un sous-anneau de Q (√ d), et on peut définir dans cet anneau la divisibilité, compliquée par le fait qu'il existe d'autres unités que + 1 ou − 1. Une unité quadratique est en effet racine d'une équation (cf. équations diophantiennes) :

Il y a une infinité d'unités dans Q (√ d) pour d ≥ 2 et, pour d ≤ − 1, il n'y en a pas d'autre possible que 1, − 1 ; i, − i et les racines troisièmes de l'unité j, j2, − j et − j2. Une unité divise tout entier ; on définira donc les nombres premiers comme étant ceux qui ne sont divisibles que par eux ou par les unités du corps. De même, a et b seront dits premiers entre eux si leurs seuls diviseurs communs sont les unités ; on écrit encore (a, b) = 1 mais c'est un symbole car 1 n'est plus le P.G.C.D. au sens ordinaire. Sans entrer dans le détail, signalons qu'alors le théorème de Gauss (a |bc et (a, b) = 1 entraînent a |c) peut avoir lieu, ou ne pas avoir lieu, suivant d. Lorsque ce théorème a lieu, Q (√ d) est appelé corps quadratique simple ; en découle une décomposition unique en facteurs premiers (à des facteurs unités près). Par exemple, il en est ainsi pour d = − 1, d = 2, d = − 3, mais pas pour d = − 5 ou d = 10 (on a par exemple :

et on vérifie qu'il n'y a pas d'unités permettant de passer d'une décomposition à l'autre). Les seuls cas quadratiques simples, pour d < 0, sont les cas où − d = 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163 (résultat de Stark et Baker en 1966 ; avant eux on avait établi qu'il en existait peut-être encore un, avec − d > 5 × 109). Une autre notion peut s'étendre à Q (√ d) ; il s'agit de la division euclidienne, qui fait intervenir les normes des nombres quadratiques, soit N (α) = α α (où α est le conjugué de α). Q (√ d) est dit euclidien si, pour tout α1 et α2 entiers, on peut écrire α1 = βα2 + γ avec N(γ) < N(α2). La propriété Q (√ d) « euclidien » entraîne évidemment Q (√ d) « simple », mais pas réciproquement. On a démontré que les seuls cas euclidiens correspondent à d = − 11, − 7, − 3, − 2, − 1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57 et 73. Le cas d = − 1 est le cas, bien connu, des entiers de Gauss a + bi où a et b sont des entiers relatifs ordinaires.

— Marcel DAVID

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Écrit par

  • Marcel DAVID : professeur à la faculté des sciences de Reims

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Pour citer cet article

Marcel DAVID, « DIVISIBILITÉ », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le . URL :

Autres références

  • ALGÉBRIQUES STRUCTURES

    • Écrit par Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
    • 29 463 mots
    ...un anneau unifère commutatif, e⊤ l'élément neutre de la loi l⊤, e⊥ l'élément neutre de la loi l⊥, et a et b deux éléments de E. On dit que bdivisea, ou que b est un diviseur de a, ou que a est un multiple de b, s'il existe dans A au moins un élément q tel que a = b...

  • ANNEAUX COMMUTATIFS

    • Écrit par Jean-Luc VERLEY
    • 6 217 mots
    • 1 média
    La présence dans un anneau de diviseurs de zéro, c'est-à-dire d'éléments a et b, tous deux non nuls, dont le produit est nul, rend illusoire toute théorie satisfaisante de la divisibilité. Les anneaux commutatifs sans diviseurs de zéro sont appelés des anneaux intègres ou anneaux...

  • NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres algébriques

    • Écrit par Christian HOUZEL
    • 12 998 mots
    ...d'après ce qui précède q ≡ h(1)λ-1 ≡ 1 (modλ) (théorème de Fermat ; cf. divisibilité). On voit comme ci-dessus que les entiers rationnels divisibles par h(α) sont les multiples de q ; pour continuer le raisonnement et montrer que h(α) est premier, on va prouver qu'il existe un entier rationnel...

  • ORDONNÉS ENSEMBLES

    • Écrit par André WARUSFEL
    • 1 725 mots
    • 2 médias
    Après la relation ≤ usuelle, la relation d'ordre la plus courante est la relation de divisibilité :
    si p divise q, c'est-à-dire si q est multiple de p : cela signifie qu'il existe un entier m ∈ N* tel que q = mp. Sur la figure, on a représenté le diagramme sagittal de l'ordre...

Voir aussi

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