DIVISIBILITÉ

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Résidus quadratiques

Résidus et non-résidus

Un nombre a premier à m est dit résidu quadratique de m, si x2 ≡ a (mod m) a des solutions entières en x ; sinon a est dit non-résidu quadratique (avec toujours la condition a premier à m). Dans le cas où m = p premier, il est facile de voir qu'il existe, modulo p, (p − 1)/2 résidus quadratiques et (p − 1)/2 non-résidus ; en effet, 12, 22, ..., (p − 1)2 donnent, modulo p, (p − 1)/2 classes résiduelles différentes ; car (p − q)≡ q2 et a2 − b2 = (a − b) (a + b) ≡ 0 (mod p) si a et b sont au plus égaux à (p − 1)/2. Par exemple, pour p = 11, on a les résidus quadratiques 1, 3, 4, 5 et 9. On peut établir aisément, pour m quelconque, que le produit de deux résidus quadratiques de m est un résidu ; car x≡ a et y≡ b entraîne (xy)≡ ab (mod m). Dans le cas où m = p premier, le produit d'un résidu par un non-résidu est un non-résidu et le produit de deux non-résidus est un résidu ; il suffit pour cela d'envisager a, 2 a, 3 a, ..., (p − 1)a, qui sont non congrus modulo p, donc forment un système complet (mod p). Il y a donc (p − 1)/2 résidus et (p − 1)/2 non-résidus, quel que soit a premier à p, et, si a est résidu, les (p − 1)/2 résidus proviennent du produit par a des résidus quadratiques de p, donc les (p − 1)/2 non-résidus correspondent aux produits de a par les non-résidus de p. Si a est non-résidu, les (p − 1)/2 non-résidus proviennent donc du produit de a par les résidus quadratiques de p, donc les (p − 1)/2 résidus correspondent aux produits de a par les non-résidus de p. Pour m quelconque, cependant, on peut avoir le produit de deux non-résidus qui soit un non-résidu : par exemple, pour m = 45, les résidus quadratiques sont 1, 4, 16, 19, 31, 34, et 2 × 7 = 14. Un critère d'Euler établit que, pour p premier différent de 2, a est résidu ou non-résidu quadratique de p suivant que, respectivement,

on ne peut avoir que l'une ou l'autre de ces congruences puisque ap-1 ≡ 1 (mod p). On peut, à partir de ce critère, retrouver les théorèmes concernant les produits de résidus ou non-résidus (mod p).

Loi de réciprocité

Legendre a in [...]

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Pour citer l’article

Marcel DAVID, « DIVISIBILITÉ », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 03 juillet 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/divisibilite/