DIVISIBILITÉ

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Théorèmes classiques

Théorème d'Euler-Fermat

Euler établit, en 1760, le théorème d'Euler-Fermat, suivant lequel, si m est entier naturel, et (a, m) = 1, on a :

En effet, un système réduit de résidus modulo m, soit r1, r2, ..., rϕ(m) est transformé, on l'a vu, en un système réduit par multiplication par a ; donc ar1, ar2, ..., arϕ(m) sont, modulo m, égaux à une permutation de r1, r2, ..., rϕ(m) d'où le produit :

que l'on peut simplifier par r1 r2 ... rϕ(m) premiers à m. D'où la formule d'Euler-Fermat. Fermat avait établi en 1736 ce théorème dans le cas particulier de m = p premier. Il s'agit du « petit théorème de Fermat », suivant lequel :
si a n'est pas multiple de p. On l'écrit, sans condition sur a, sous la forme ap ≡ a(mod p). On remarquera que la réciproque de ce théorème n'a pas lieu (par exemple m = 561 = 3 × 11 × 17 vérifie, pour tout a premier à m, a560 ≡ 1). On a d'autre part établi (Beeger en 1951) qu'il existe une infinité d'entiers n pairs tels que 2n − 2 est divisible par n (le plus petit de ces nombres étant 161 038).

Théorème de Wilson

Le théorème de Wilson énonce que :

pour tout p premier (théorème publié en 1770 par Waring et démontré par Lagrange en 1771). Supposant p impair et développant :
Lagrange obtient, après avoir multiplié par x puis changé x en (x − 1), une identité permettant d'établir que p |A1, p |A2, ..., p |Ap-2 et (p − 1) Ap-1 ≡ 1 (mod p). On a donc Ap-1 ≡ − 1 (mod p), ce qui établit le théorème, car Ap-1 = (p − 1) !. On a de plus :
ce qui, pour x premier à p, donne le petit théorème de Fermat. On verra une autre démonstration du théorème de Wilson, dans le paragraphe des résidus quadratiques.

Racines primitives

La notion de racine primitive modulo m, est liée à la formule d'Euler :

Soit en effet k le plus petit exposant pour lequel a≡ 1 (mod m). On dit que a appartient à l'exposant k (mod m), ou que k est l'ordre de a, modulo m. Il s'ensuit que k divise tout x tel que a≡ 1 (mod m) ; en particulier, k |ϕ (m), et on dit que a est une racine primitive modulo m si l'ordre de a est ϕ(m), c'est-à-dire si ϕ(m) est effectivement le plus petit exp [...]

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Pour citer l’article

Marcel DAVID, « DIVISIBILITÉ », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 03 juillet 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/divisibilite/