DIVISIBILITÉ

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Fonctions arithmétiques

Congruences

On se placera ici dans l'anneau Z des entiers relatifs. On dit que a est congru à b (modulo m), ce qui s'écrit a ≡ b (mod m), lorsque | (a − b). Cette congruence modulo m, pour m fixé, est une relation d'équivalence (réflexive, transitive, symétrique) et permet donc de faire une partition de Z en classes (ensemble quotient par cette équivalence). Chacune de ces classes est appelée classe résiduelle modulo m, et comprend un élément et un seul a compris entre 0 et (m − 1), soit 0 ≤ a  m − 1, tel que tout autre élément de la classe est égal à km. Si l'on désigne par [b]m la classe d'un entier b, il y a ainsi m classes, à savoir : [0]m, [1]m, [2]m, ..., [m − 1]m. On dit que m nombres b1, b2, ..., bm forment un système complet de résidus, modulo m, si ces nombres sont, deux à deux, non congrus modulo m ; ils correspondent donc aux m classes. La congruence modulo m étant stable dans l'addition et dans la multiplication, on peut munir l'ensemble des classes résiduelles des opérations de somme et de produit (avec [a]m + [b]m = [a + b]m et [a]× [b]m = [ab]m). On obtient ainsi un anneau commutatif, dans lequel [ax]m = [ay]m entraîne [x]m = [y]m si a est premier à m ; dans le cas général, on n'aurait que [x]m/d = [y]m/d avec d = (a, m). Un cas particulièrement intéressant est celui où m = p est premier ; dans ce cas, en effet, l'anneau des classes résiduelles devient un corps, qu'on écrit en général Z/pZ ou Z/p. En effet, si [a]≠ 0, donc a non multiple de p, c'est-à-dire a premier avec p, on peut écrire ab + pc = 1, d'où [a]p[b]p = [1]p, ce qui montre l'existence de 1 / [a]p = [b]p. Cela rejoint d'ailleurs une propriété classique : tout anneau fini sans diviseur de 0 est un corps. D'autre part, il est facile de voir que [a]m = [b]m équivaut à (a, m) = (b, m) ; on peut donc envisager les classes résiduelles premières à m qui forment, pour m donné, ce qu'on appelle un système réduit (par exemple, pour m = 18, les classes [1], [5], [7], [11], [13] et [17]). On dit alors qu'un ensemble d'entiers est un système réduit de résidus modulo [...]


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Pour citer l’article

Marcel DAVID, « DIVISIBILITÉ », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 11 janvier 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/divisibilite/