DIVISIBILITÉ

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Propriétés élémentaires

L'anneau Z des entiers relatifs possède la propriété suivante de division euclidienne : si a et b sont deux entiers relatifs, ≠ 0, il existe des entiers q et r déterminés de manière unique par les conditions :

q s'appelle le quotient de la division de a par b et b est le reste de cette division. Si le reste est nul, cela signifie qu'il existe un entier q tel que a = bq ; on dit alors que b divise a, ou que a est un multiple de b.

Dans ce qui suit, nous nous limiterons, sauf mention explicite du contraire, aux entiers positifs. On écrit |a si b divise a. Cette relation de divisibilité est une relation d'ordre dans les entiers naturels ; en effet, elle est réflexive car | a, transitive car c | b et | a entraînent a, antisymétrique car a | b et | a entraînent a = b. Cet ordre n'est pas total car deux entiers a et b ne vérifient pas obligatoirement l'une des relations b ou | a. Un nombre p ≠ 1 est dit premier s'il n'est divisible que par 1 et par lui-même.

Soient a et b deux entiers positifs ; on montre qu'il existe un diviseur commun d de a et de b tel que les diviseurs communs de a et de b soient exactement les diviseurs de d ; ce diviseur commun privilégié est appelé le plus grand commun diviseur (en abrégé P.G.C.D.) de a et de b et se note d = (a, b). Si (a, b) = 1, c'est-à-dire si le seul diviseur commun de a et de b est 1, on dit que a et b sont premiers entre eux. Une condition nécessaire et suffisante pour que a et b soient premiers entre eux est qu'il existe des entiers relatifs x et y tels que :

Ce résultat entraîne facilement le lemme de Gauss : si un entier c divise un produit ab et est premier avec a, alors il divise b. On en déduit le théorème fondamental de la décomposition en facteurs premiers : tout entier naturel > 1 est décomposable, d'une manière unique, en un produit :

de nombres premiers p1, p2, ..., pn distincts ; les exposants ki sont des entiers ≥ 1. On peut, à partir de là, donner la règle d'obtention du P.G.C.D. de nombres ainsi décomposés : prendre les facteurs [...]


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Pour citer l’article

Marcel DAVID, « DIVISIBILITÉ », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 24 janvier 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/divisibilite/