DISTRIBUTIONS, mathématiques

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Espaces avec notion de suite convergente

Les conditions de continuité qui interviennent dans la définition des distributions peuvent s'exprimer élémentairement en utilisant seulement la notion de suite convergente, sans qu'il soit nécessaire de préciser complètement la topologie des espaces considérés. On se propose ici de montrer comment on peut définir a priori et de manière purement formelle une telle notion sur un espace vectoriel. Les espaces vectoriels sont sur le corps R des nombres réels ou le corps C des nombres complexes.

Définition

Soit E un espace vectoriel. On dit qu'on a défini dans E une notion de suite convergente si on s'est donné un sous-ensemble R de l'ensemble de toutes les suites d'éléments de E et une application de R dans E qui à toute suite (xn) de R fait correspondre un élément ∈ E, ce qu'on écrira (de manière purement formelle) : (xn) → x dans E, et ce qu'on lira : La suite (xn) converge vers x ; les éléments de R s'appellent suites convergentes. On impose aux données précédentes les conditions suivantes : (a) Pour tout élément ∈ E, la suite constante (x, x, ..., x, ...) est convergente et converge vers x ; (b) Si la suite (xn) est convergente et converge vers x, alors, pour tout nombre λ du corps de base R ou C, la suite (λ xn) converge vers λ x ; (c) Si (xn) et (yn) sont deux suites convergentes qui convergent respectivement vers x et y, alors la suite (xn + yn) converge vers x + y. (d) Si (xn) converge vers x, toute sous-suite de (xn) converge aussi vers x.

Les conditions ci-dessus sont les propriétés des suites convergentes (au sens usuel) de nombres réels ou complexes. Comme toujours dans l'approche formelle d'une notion, on retrouve donc, sous forme d'axiomes, des propriétés vérifiées dans les situations concrètes qu'il s'agit de généraliser. Si une suite (xn) converge vers x, on dit aussi que (xn) a pour limite x et on écrit :

Remarquons que, pour connaître R, il suffit de connaître le sous-ensemble R0 de R formé des suites (xn) qui convergent vers [...]

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Pour citer l’article

Paul KRÉE, « DISTRIBUTIONS, mathématiques », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 13 août 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/distributions-mathematiques/