DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Théorie linéaire

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Le théorème de Cauchy-Kovalevskaïa

Supposons l'opérateur P de la forme :

où les Qk sont des opérateurs différentiels d'ordre au plus k et où ∇x désigne le gradient relativement à x.

Le problème de Cauchy s'énonce alors : « Trouver u vérifiant :

f et g0, g1,..., gm-1 sont des fonctions données. »

Le théorème de Cauchy-KovalevskaÎa suppose que les coefficients de P ainsi que les données f, g0, ..., gm-1 sont des fonctions analytiques (réelles ou complexes) de t et de x. Il affirme alors l'existence d'une solution analytique et une seule sur un voisinage de tout point (0, x0). Ce voisinage dépend de P et des domaines d'analyticité complexes des données.

Ce théorème s'applique aussi aux systèmes, pourvu qu'ils soient de la forme :

où Φ est une fonction analytique de txu et ses dérivées d'ordre total m au plus mais strictement plus petit que m en t. Il reste un des rares résultats très généraux de la théorie. Il a été publié par Cauchy en 1842 dans les Comptes rendus de l'Académie des sciences.

Le travail de Sofia Kovalevskaïa est paru en 1874 ; apparemment elle ne connaissait pas celui de Cauchy (et son jury non plus puisqu'il s'agissait d'une thèse !).

La démonstration d'unicité est simple et instructive. Si u est une solution analytique, elle possède un développement de Taylor en t :

où :
pour tout k positif cette fois. Les gk sont donnés pour < m. En faisant t = 0 dans l'équation aux dérivées partielles, on trouve :
En dérivant l'équation (2) par rapport à t et en y faisant t = 0, on trouve des formules analogues donnant chaque gk en fonction de ceux d'indices strictement plus petits.

La démonstration d'existence consiste essentiellement à démontrer la convergence de la série ainsi calculée. Elle repose sur une technique de majoration établie par Cauchy à cette occasion (méthode des séries majorantes).

La même démonstration s'applique d'ailleurs au système non linéaire (4) moyennant des complications légères.

Unicité de la solution distribution

Le théorème de Cauchy-Kovalevskaïa n'exclut pas l'existence de solutions non analytiques au problème de Cauchy. Cette lacune a ét [...]


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Pour citer l’article

Martin ZERNER, « DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Théorie linéaire », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 25 novembre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/derivees-partielles-equations-aux-theorie-lineaire/