DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Sources et applications

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L'équation des ondes et le type hyperbolique

L'équation des ondes (équation de d'Alembert) :

régit le comportement de la densité dans une onde sonore, c'est-à-dire une perturbation de faible amplitude d'un gaz non visqueux au repos. Dans une série de phénomènes physiques représentés par des grandeurs vectorielles, chaque composante des vecteurs concernés obéit à cette même équation : ondes transversale et longitudinale dans un solide élastique, ondes électromagnétiques, etc. Il faut y ajouter les phénomènes analogues dépendant seulement d'une ou deux variables d'espace ; parmi eux, les vibrations transversales d'un fil élastique donnent lieu au cas particulier de l'équation des cordes vibrantes :
la plus ancienne à avoir été explicitement étudiée (dans la décennie de 1740 par d'Alembert, Daniel Bernoulli et Euler).

La possibilité d'écrire toutes les solutions de l'équation des cordes vibrantes sous la forme :

permet d'en voir facilement certaines propriétés :

a) Le problème de Cauchy est bien posé, tant dans le futur (> t0) que dans le passé (< t0). Ce problème s'énonce ici : « Trouver u vérifiant l'équation (2) et de plus les conditions :

u0 et u1 sont des fonctions données. »

b) Les solutions se propagent à la vitesse c. Cette affirmation délibérément vague peut se préciser de plusieurs façons. Par exemple en revenant au problème de Cauchy, avec t0 nul pour simplifier, si u0 et u1 s'annulent en dehors d'un intervalle [a, b], u(tx) s'annule lorsque x est en dehors de l'intervalle [− c||, b + c|

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Martin ZERNER, « DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Sources et applications », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 07 octobre 2018. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/derivees-partielles-equations-aux-sources-et-applications/