DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Sources et applications

L'équation des ondes et le type hyperbolique

L'équation des ondes (équation de d'Alembert) :

régit le comportement de la densité dans une onde sonore, c'est-à-dire une perturbation de faible amplitude d'un gaz non visqueux au repos. Dans une série de phénomènes physiques représentés par des grandeurs vectorielles, chaque composante des vecteurs concernés obéit à cette même équation : ondes transversale et longitudinale dans un solide élastique, ondes électromagnétiques, etc. Il faut y ajouter les phénomènes analogues dépendant seulement d'une ou deux variables d'espace ; parmi eux, les vibrations transversales d'un fil élastique donnent lieu au cas particulier de l'équation des cordes vibrantes : la plus ancienne à avoir été explicitement étudiée (dans la décennie de 1740 par d'Alembert, Daniel Bernoulli et Euler).

La possibilité d'écrire toutes les solutions de l'équation des cordes vibrantes sous la forme :

permet d'en voir facilement certaines propriétés :

a) Le problème de Cauchy est bien posé, tant dans le futur (t > t₀) que dans le passé (t < t₀). Ce problème s'énonce ici : « Trouver u vérifiant l'équation (2) et de plus les conditions :

où u₀ et u₁ sont des fonctions données. »

b) Les solutions se propagent à la vitesse c. Cette affirmation délibérément vague peut se préciser de plusieurs façons. Par exemple en revenant au problème de Cauchy, avec t₀ nul pour simplifier, si u₀ et u₁ s'annulent en dehors d'un intervalle [a, b], u(t, x) s'annule lorsque x est en dehors de l'intervalle [a − c|t |, b + c|t | ]. Sur cette figure, si les données de Cauchy u(0, x) et ∂u/∂t (0, x) s'annulent en dehors de [a, b], la solution u s'annule sur toute la région ombrée.

Cette propriété peut s'exprimer de façon équivalente en termes de domaines de dépendance : u(t, x) ne dépend que des restrictions de u₀ et u₁ à l'intervalle [x − c|t |, x + c|t |]. Le domaine de dépendance du point P est le segment renforcé sur l'axe des x ; on peut calculer u(P) à l'aide des données de Cauchy sur ce segment.

c) Les singularités de la solution se propagent, elles aussi, à la vitesse c. Si par exemple u₁ présente une discontinuité au point x₀, on retrouvera des discontinuités des dérivées premières de u aux points (t, x − ct ) et (t, x + ct ).

La possibilité d'expliciter toutes les solutions sous une forme simple est tout à fait spéciale à l'équation des cordes vibrantes. Mais les propriétés que nous en avons tirées se démontrent par d'autres méthodes pour toute une classe d'équations et de systèmes qu'on appelle hyperboliques. C'est dans cette classe qu'on trouve les équations de base auxquelles obéissent les phénomènes physiques réversibles, à commencer par l'équation des ondes. La formulation du problème de Cauchy n'a pas besoin d'être changée, du moins tant qu'on se limite à une équation du second ordre. La géométrie de la propagation devient plus compliquée et, pour la décrire dans le cas général, même linéaire, il faut recourir aux courbes bicaractéristiques dont on trouvera la définition au début de l'article équations aux dérivées partielles - analyse microlocale. Nous allons décrire ici deux résultats simples sur l'équation :

équation qui décrit la propagation d'une onde amortie avec une vitesse dépendant du point où on se trouve (comme le son dans une atmosphère inhomogène). Nous poserons :(c'est ce qu'on appelle le symbole principal).

Soit u une solution de (3) qui s'annule d'un côté d'une hypersurface Σ d'équation : S(t, x) = 0. On peut démontrer que si u ne s'annule pas sur tout un voisinage de Σ, S vérifie l'équation aux dérivées partielles non linéaire du premier ordre :

on dit que c'est une hypersurface caractéristique.

Supposons de plus que u soit deux fois continûment dérivable en dehors de Σ mais discontinue sur Σ. Nous noterons [u] sa discontinuité ; [u] est donc définie sur Σ comme limite de u(x) quand x tend vers un point de Σ en restant du côté où u ne s'annule pas identiquement. Si on cherche alors à écrire l'équation (3) au sens des distributions, on voit apparaître une double couche portée par Σ de densité [u] que multiplie le premier membre de (4), ce qui donne la démonstration dans ce cas particulier. Il apparaît également une simple couche dont la densité est à un coefficient non nul près :

où h est une fonction qui se calcule à partir des coefficients de (3) et de S. On voit donc que la discontinuité [u] vérifie une équation linéaire du premier ordre dont le système caractéristique est :les trajectoires de ce système qui ont un point sur Σ sont tout entières sur cette hypersurface du fait qu'elle est caractéristique, ce sont des

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