DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Sources et applications

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L'équation des ondes et le type hyperbolique

L'équation des ondes (équation de d'Alembert) :

régit le comportement de la densité dans une onde sonore, c'est-à-dire une perturbation de faible amplitude d'un gaz non visqueux au repos. Dans une série de phénomènes physiques représentés par des grandeurs vectorielles, chaque composante des vecteurs concernés obéit à cette même équation : ondes transversale et longitudinale dans un solide élastique, ondes électromagnétiques, etc. Il faut y ajouter les phénomènes analogues dépendant seulement d'une ou deux variables d'espace ; parmi eux, les vibrations transversales d'un fil élastique donnent lieu au cas particulier de l'équation des cordes vibrantes :
la plus ancienne à avoir été explicitement étudiée (dans la décennie de 1740 par d'Alembert, Daniel Bernoulli et Euler).

La possibilité d'écrire toutes les solutions de l'équation des cordes vibrantes sous la forme :

permet d'en voir facilement certaines propriétés :

a) Le problème de Cauchy est bien posé, tant dans le futur (> t0) que dans le passé (< t0). Ce problème s'énonce ici : « Trouver u vérifiant l'équation (2) et de plus les conditions :

u0 et u1 sont des fonctions données. »

b) Les solutions se propagent à la vitesse c. Cette affirmation délibérément vague peut se préciser de plusieurs façons. Par exemple en revenant au problème de Cauchy, avec t0 nul pour simplifier, si u0 et u1 s'annulent en dehors d'un intervalle [a, b], u(tx) s'annule lorsque x est en dehors de l'intervalle [− c||, b + c|| ]. Sur cette figure, si les données de Cauchy u(0, x) et ∂u/∂t (0, x) s'annulent en dehors de [ab], la solution u s'annule sur toute la région ombrée.

Équation des formes vibrantes

Dessin : Équation des formes vibrantes

Dessin

Propagation des solutions et domaine de dépendance pour l'équation des cordes vibrantes : les pentes des droites obliques sont ± 1/c. 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Cette propriété peut s'exprimer de façon équivalente en termes de domaines de dépendance : u(t, x) ne dépend que des restrictions de u0 et u1 à l'intervalle [x − c||, x + c||]. Le domaine de dépendance du point P est le segment renforcé sur l'axe des x ; on peut calculer u(P) à l'aide des données de Cauchy sur ce segment.

c) Les singularités de la solution se propagent, elles aussi, à la vitesse c. Si par exemp [...]

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Pour citer l’article

Martin ZERNER, « DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Sources et applications », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 15 janvier 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/derivees-partielles-equations-aux-sources-et-applications/