DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Sources et applications

L'équation des ondes et le type hyperbolique

L'équation des ondes (équation de d'Alembert) :

régit le comportement de la densité dans une onde sonore, c'est-à-dire une perturbation de faible amplitude d'un gaz non visqueux au repos. Dans une série de phénomènes physiques représentés par des grandeurs vectorielles, chaque composante des vecteurs concernés obéit à cette même équation : ondes transversale et longitudinale dans un solide élastique, ondes électromagnétiques, etc. Il faut y ajouter les phénomènes analogues dépendant seulement d'une ou deux variables d'espace ; parmi eux, les vibrations transversales d'un fil élastique donnent lieu au cas particulier de l'équation des cordes vibrantes : la plus ancienne à avoir été explicitement étudiée (dans la décennie de 1740 par d'Alembert, Daniel Bernoulli et Euler).

La possibilité d'écrire toutes les solutions de l'équation des cordes vibrantes sous la forme :

permet d'en voir facilement certaines propriétés :

a) Le problème de Cauchy est bien posé, tant dans le futur (t > t₀) que dans le passé (t < t₀). Ce problème s'énonce ici : « Trouver u vérifiant l'équation (2) et de plus les conditions :

où u₀ et u₁ sont des fonctions données. »

b) Les solutions se propagent à la vitesse c. Cette affirmation délibérément vague peut se préciser de plusieurs façons. Par exemple en revenant au problème de Cauchy, avec t₀ nul pour simplifier, si u₀ et u₁ s'annulent en dehors d'un intervalle [a, b], u(t, x) s'annule lorsque x est en dehors de l'intervalle [a − c|t |, b + c|t | ]. Sur cette figure, si les données de Cauchy u(0, x) et ∂u/∂t (0, x) s'annulent en dehors de [a, b], la solution u s'annule sur toute la région ombrée.

Cette propriété peut s'exprimer de façon équivalente en termes de domaines de dépendance : u(t, x) ne dépend que des restrictions de u₀ et u₁ à l'intervalle [x − c|t |, x + c|t |]. Le domaine de dépendance du point P est le segment renforcé sur l'axe des x ; on peut calculer u(P) à l'aide des données de Cauchy sur ce segment.

c) Les singularités de la solution se propagent, elles aussi, à la vitesse c. Si par exemp [...]

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