DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Sources et applications
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L'équation des ondes et le type hyperbolique
L'équation des ondes (équation de d'Alembert) :


La possibilité d'écrire toutes les solutions de l'équation des cordes vibrantes sous la forme :

a) Le problème de Cauchy est bien posé, tant dans le futur (t > t0) que dans le passé (t < t0). Ce problème s'énonce ici : « Trouver u vérifiant l'équation (2) et de plus les conditions :

b) Les solutions se propagent à la vitesse c. Cette affirmation délibérément vague peut se préciser de plusieurs façons. Par exemple en revenant au problème de Cauchy, avec t0 nul pour simplifier, si u0 et u1 s'annulent en dehors d'un intervalle [a, b], u(t, x) s'annule lorsque x est en dehors de l'intervalle [a − c|t |, b + c|t | ]. Sur cette figure, si les données de Cauchy u(0, x) et ∂u/∂t (0, x) s'annulent en dehors de [a, b], la solution u s'annule sur toute la région ombrée.
Propagation des solutions et domaine de dépendance pour l'équation des cordes vibrantes : les pentes des droites obliques sont ± 1/c.
Crédits : Encyclopædia Universalis France
Cette propriété peut s'exprimer de façon équivalente en termes de domaines de dépendance : u(t, x) ne dépend que des restrictions de u0 et u1 à l'intervalle [x − c|t |, x + c|t |]. Le domaine de dépendance du point P est le segment renforcé sur l'axe des x ; on peut calculer u(P) à l'aide des données de Cauchy sur ce segment.
c) Les singularités de la solution se propagent, elles aussi, à la vitesse c. Si par exemp [...]
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Écrit par :
- Martin ZERNER : professeur à l'université de Nice
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Pour citer l’article
Martin ZERNER, « DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Sources et applications », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 15 janvier 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/derivees-partielles-equations-aux-sources-et-applications/