DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Analyse numérique

Problèmes aux limites stationnaires (elliptiques)

Différentes méthodes de résolution approchée

On peut distinguer trois familles :

– les développements en séries de fonctions propres ;

– les approximations par différences finies ;

– les méthodes d'éléments finis.

À la première famille appartiennent les résolutions classiques de l'équation des cordes vibrantes et de l'équation de la chaleur par développement en série trigonométrique de la solution. Ce sont des méthodes puissantes qui ont été pendant longtemps un des principaux outils de la physique mathématique. Leur grand défaut est de ne s'appliquer qu'à des situations extrêmement spéciales, celles où on connaît les fonctions propres de l'opérateur étudié.

Le principe des méthodes de différences finies est simple. Presque par définition, les expressions :

dérivée avancée, et :dérivée retardée, sont, pour h petit, des approximations de ∂ u/∂ x. De même, le développement de Taylor montre que :et :sont des approximations respectivement de :cela permet d'approcher tout opérateur aux dérivées partielles du second ordre. Si on se donne un réseau rectangulaire, c'est-à-dire l'ensemble des points :l'approximation ne fait intervenir que les valeurs de u aux points du réseau. Notant u^*_jk la valeur approchée cherchée de u(jh₁, kh₂), l'équation aux dérivées partielles est remplacée par un système fini d'équations.

Pour fixer les idées, considérons le problème de Dirichlet et prenons h₁ = h₂ = h. Le système qui détermine les valeurs approchées de la solution est :

Toujours employées, les méthodes de différences finies ne font actuellement guère l'objet d'études systématiques. Leur développement a probablement été stoppé par la généralisation des méthodes d'éléments finis que nous allons examiner maintenant.

Principe des méthodes d'éléments finis

Commençons par un exemple très simple, la déformation d'une tige élastique fixée à un bout et soumise à une force longitudinale F à l'autre. Imaginons cette tige composée de N petits ressorts accrochés bout à bout (ce sont les « éléments finis »). Au r [...]

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