COURBE ELLIPTIQUE

COURBES ALGÉBRIQUES

  • Écrit par 
  • Luc GAUTHIER
  •  • 4 352 mots
  •  • 8 médias

Dans le chapitre « Définitions »  : […] Nous avons dit que les cubiques sont rationnelles lorsqu'elles ont un point double. Les cubiques sans point singulier sont projectivement réductibles à la forme : (dans laquelle l'équation y  = 0 doit avoir trois racines simples). Cette forme réduite, définie à une homothétie près, dépend du seul paramètre : La définition de la fonction elliptique p ( u ) de Weierstrass met en évidence la représen […] Lire la suite

CRYPTOLOGIE

  • Écrit par 
  • Jacques STERN
  •  • 5 754 mots
  •  • 2 médias

Dans le chapitre « Les mécanismes mis en œuvre »  : […] La quasi-totalité des systèmes cryptographiques asymétriques repose sur l'emploi de méthodes mathématiques issues de la théorie des nombres et développées au xix e  siècle, notamment dans les travaux de l'Allemand Carl Friedrich Gauss. Pour les appréhender, on doit substituer à l'arithmétique ordinaire des mécanismes de calcul modulo  n où les nombres manipulés ne dépassent jamais une certaine va […] Lire la suite

DÉMONSTRATION DU GRAND THÉORÈME DE FERMAT (A. J. Wiles)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 197 mots
  •  • 1 média

Dans un article intitulé « Courbes elliptiques modulaires et dernier théorème de Fermat », Andrew John Wiles (né en 1953) donne la première démonstration intégrale du grand théorème de Fermat. En 1630, Pierre de Fermat avait affirmé que l'équation x n  +  y n  =  z n n'admet aucune solution entière non nulle lorsque n est supérieur à 2. En utilisant la théorie des déformations des représentatio […] Lire la suite

FERMAT PIERRE DE (1601-1665)

  • Écrit par 
  • Catherine GOLDSTEIN, 
  • Jean ITARD
  • , Universalis
  •  • 4 157 mots

Dans le chapitre « L'approche de Wiles »  : […] Les années 1980 ont vu naître de nouveaux espoirs, le théorème de Fermat ayant été intégré dans plusieurs théories en plein développement. En améliorant des estimations analytiques très fines, Étienne Fouvry prouva en 1985 l'existence d'une infinité d'exposants premiers p pour lesquels l'équation de Fermat a p  +  b p  =  c p n'a pas de solutions, sauf peut-être si p divise le produit abc  : c' […] Lire la suite

KRONECKER LEOPOLD (1823-1891)

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 2 144 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « La « multiplication complexe » »  : […] Une courbe elliptique X peut être définie, en tant que groupe de Lie complexe, comme un quotient C /Γ, où Γ est un réseau dans C , c'est-à-dire l'ensemble des combinaisons à coefficients entiers (positifs ou négatifs) de deux nombres complexes ω 1 , ω 2 de rapport τ non réel ; à isomorphie près, on peut toujours supposer que ω 1  = 1, ω 2  = τ, avec Im τ  >  0. La théorie des fonctions elliptique […] Lire la suite

PRIX ABEL 2016

  • Écrit par 
  • Yves GAUTIER
  •  • 1 206 mots
  •  • 2 médias

Le 15 mars 2016, l’Académie norvégienne des sciences et des lettres a décerné le prix Abel 2016 au mathématicien anglais Andrew John Wiles « pour avoir démontré de manière éclatante le dernier théorème de Fermat par le biais de la conjecture de modularité pour les courbes elliptiques semi-stables, ouvrant ainsi une nouvelle ère dans la théorie des nombres ». Wiles est né le 11 avril 1953 à Cambri […] Lire la suite

SHIMURA-TANIYAMA-WEIL CONJECTURE DE

  • Écrit par 
  • Christophe BREUIL
  •  • 4 572 mots

« Toute courbe elliptique sur ℚ est modulaire » : la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil est devenue un théorème en 1999, mais l'appellation initiale est demeurée. Sa démonstration est due au mathématicien anglais Andrew Wiles et à ses continuateurs (cf. bibliographie : Wiles [1995] ; Taylor et Wiles [1995]  ; Diamond [1996] ; Conrad, Diamond et Taylor [1999]  ; et Breuil, Conrad, Diamond et Taylo […] Lire la suite