CONVEXITÉFonctions convexes

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Les fonctions convexes

Soit E un espace vectoriel sur R, C une partie convexe de E et f une fonction définie sur E à valeurs dans R− (c'est-à-dire prenant éventuellement les valeurs ± ∞). L'épigraphe de f, noté épi(), est l'ensemble des couples (xa) de C × R tels que f (x) ≤ a. La fonction f sera dite convexe si son épigraphe est une partie convexe de E × R.

On obtient immédiatement une interprétation analytique de cette définition : La fonction f est convexe si et seulement si, pour tout réel λ de l'intervalle [0, 1], on a :

pour tous les couples (xy) d'éléments de C ne vérifiant pas f (x) = − f (y) = ± ∞ (auquel cas le second membre de l'inégalité (1) n'est pas défini). En raisonnant par récurrence, on prouve que, si λ1, λ2, ..., λn sont des réels positifs dont la somme est 1, on a :
chaque fois que le second membre de l'inégalité (2) a un sens.

La possibilité pour la fonction f de prendre la valeur + ∞ permet de ne considérer que des fonctions convexes définies sur E tout entier ; en effet, si on prolonge la fonction f définie sur C en la fonction définie sur E en posant f̃ (x) = + ∞ si ∉ C, les fonctions f et ont alors le même épigraphe et donc f est convexe si et seulement si est convexe. Désormais, nous ne considérerons donc que des fonctions définies sur E tout entier. Cela nous conduit à définir le domaine effectif de f, noté dom () :

Le domaine effectif de f est la projection sur E de l'épigraphe de f ; c'est une partie convexe de E.

La valeur − ∞ peut se présenter dans certains cas particuliers ; nous ne l'éliminons pas a priori ; néanmoins, nous introduisons la terminologie suivante : La fonction convexe f est propre si son domaine effectif est non vide et si elle ne prend jamais la valeur − ∞ ; la restriction de f à dom () est alors une fonction à valeurs dans R (cf. convexité - Ensembles convexes). Une fonction deux fois continûment différentiable sur un ouvert convexe C de Rn à valeurs réelles est convexe si et seulement si la matrice hessienne :

est, en tout point x de C, la matrice d'une forme quadratique positive.

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Coefficient directeur d'une droite

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Écrit par :

  • : maître assistant à la faculté des sciences de Marseille-Luminy

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Pour citer l’article

Robert ROLLAND, « CONVEXITÉ - Fonctions convexes », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 06 février 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/convexite-fonctions-convexes/