CONVERGENCE UNIFORME
FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES
Dans le chapitre « Normes usuelles » : […] Considérons d'abord l'espace vectoriel C ([ a , b ]) des fonctions continues à valeurs complexes sur un intervalle I = [ a , b ]. Les trois normes usuelles sont : – la norme de la convergence uniforme : – la norme de la convergence en moyenne : – la norme de la convergence en moyenne quadratique : Soit f une fonction positive. Cette fonction f est petite au sens de la norme N ∞ si elle est […] Lire la suite
FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions d'une variable complexe
Dans le chapitre « Suites convergentes de fonctions analytiques » : […] Dans le domaine réel, une limite uniforme de fonctions dérivables n'est pas nécessairement dérivable ; en fait, le théorème de Weierstrass affirme même que toute fonction continue sur un intervalle borné [ a , b ] est limite uniforme de polynômes. Mais, dans le cas complexe, la situation est tout à fait différente, et la formule intégrale de Cauchy permet d'obtenir des conditions très fortes de ré […] Lire la suite
NORMÉS ESPACES VECTORIELS
Dans le chapitre « Comparaison de normes » : […] Considérons deux normes ∥.∥ 1 et ∥.∥ 2 sur un même espace vectoriel E et désignons par E 1 et E 2 les espaces vectoriels normés correspondants. On dit que la norme ∥.∥ 1 est plus fine que la norme ∥.∥ 2 si l'application identique de E 1 dans E 2 est continue, ce qui signifie que tout ouvert pour la norme ∥.∥ 2 est un ouvert pour la norme ∥.∥ 1 . La condition ci-dessus montre que cela équivaut à […] Lire la suite
TOPOLOGIE - Topologie générale
Dans le chapitre « Exemples » : […] Dans l'analyse classique, le mot limite peut désigner des choses apparemment très diverses dont on va citer quelques exemples. 1. Limite d'une suite numérique . Soit ( x n ) une suite de nombres ; on dit qu'elle converge et que sa limite est y si, quel que soit le nombre strictement positif ε, il existe un entier N tel que, pour tout n ≥ N, on ait l'inégalité | y − x n | ≤ ε. 2. Limite unifo […] Lire la suite