CONVERGENCE, mathématiques
ANNEAUX & ALGÈBRES
Dans le chapitre « Anneaux de séries » : […] A étant un anneau commutatif, on peut définir de manière purement formelle et algébrique des séries à coefficients dans A ; dans le cas où A est le corps des nombres complexes ou des nombres réels, nous ferons jouer un rôle particulier à celles de ces séries, dites convergentes, qui possèdent un rayon de convergence non nul. On appelle série formelle (à une variable) à coefficients dans un anneau […] […] Lire la suite
DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS
Dans le chapitre « Méthode des approximations successives » : […] On sait que le problème P est équivalent au problème Q : Trouver y continu sur I tel que : Si y est solution de Q, et donc de P, on a : Supposons connues des valeurs approchées y p-q ,..., y p de y ( x p-q ), ..., y ( x p ). Nous connaissons alors des valeurs approchées de : f ( x p-j , y ( x p-j )), 0 ≤ j ≤ q . Posons : et considérons le polynôme d'interpolation sur les points x p-q , .. […] […] Lire la suite
DISTRIBUTIONS, mathématiques
Dans le chapitre « Espaces avec notion de suite convergente » : […] Les conditions de continuité qui interviennent dans la définition des distributions peuvent s'exprimer élémentairement en utilisant seulement la notion de suite convergente, sans qu'il soit nécessaire de préciser complètement la topologie des espaces considérés. On se propose ici de montrer comment on peut définir a priori et de manière purement formelle une telle notion sur un espace vectoriel. […] […] Lire la suite
FONCTIONS ANALYTIQUES Fonctions d'une variable complexe
Dans le chapitre « Convergence » : […] Étudions l'ensemble des nombres complexes z pour lesquels la série (1) est convergente. Posant Z = z − a pour simplifier, on se ramène, par une translation, à une série entière : de centre O. Théorème 1. Soit R (éventuellement égal à 0 ou à + ∞) défini par la formule d' Hadamard : alors, pour tout r […] […] Lire la suite
FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES
Dans le chapitre « Convergence des processus d'approximation consistants » : […] Nous nous bornerons ici à étudier le cas E = C ( T ), ou E = C ([ a , b ]), où u = I E et où le processus ( u n ) d'approximation est défini par une suite de projecteurs p n de E sur E n . D'après les résultats du chapitre 7, la convergence de p n ( f ) vers un élément f de E est contrôlée par la relation : Ayant étudié précédemment la rapidité de convergence vers 0 de δ n ( f ), il nous r […] […] Lire la suite
GREGORY JAMES (1638-1675)
Mathématicien et opticien écossais, James Gregory naît en novembre 1638 près d’Aberdeen, en Écosse, fils cadet d’un prêtre anglican. Sa mère puis son frère David l’initient à la géométrie et en particulier à la lecture des É léments d’Euclide pendant son adolescence. Il entre ensuite à l’université d’Aberdeen. Il y étudie l’optique et s’intéresse à la construction de télescopes ; il invente le t […] […] Lire la suite
HARMONIQUE ANALYSE
Dans le chapitre « Questions de convergence » : […] Le problème de la représentation d'une fonction périodique par une série trigonométrique se ramène à l'étude de la convergence de sa série de Fourier. Nous nous contenterons de donner ici quelques-uns des nombreux résultats obtenus dans ce domaine. a ) D'abord, en dehors de toute notion de convergence, la série de Fourier d'une fonction caractérise celle-ci (cela doit être compris comme une caract […] […] Lire la suite
LÉVY PAUL (1886-1971)
Mathématicien français né et mort à Paris. Ingénieur au corps des Mines, docteur ès sciences en 1912, Paul Lévy enseigna l'analyse à l'École polytechnique de 1920 à 1959, ainsi que l'analyse et la mécanique à l'École nationale supérieure des mines de 1914 à 1951. Il fut élu à l'Académie des sciences en 1964. De 1905 à 1951, il publia dix ouvrages et quelque deux cent soixante-dix articles, dont pl […] […] Lire la suite
MÉTRIQUES ESPACES
Dans le chapitre « Le langage des suites » : […] Soit ( u n ) une suite de points d'un espace métrique E (de distance d ). On dira de manière naturelle que cette suite converge vers un élément a ∈ E pour n tendant vers l'infini si d ( a , u n ) → 0 pour n → ∞. Pour tout ε > 0, il existe donc un entier N tel que : c'est-à-dire : ainsi u n → a pour n → ∞ si, pour tout voisinage V de a , il existe un entier N tel que u n ∈ V pour n ≥ N. On peut […] […] Lire la suite
NOMBRES COMPLEXES
Dans le chapitre « Limites » : […] Puisque le module des nombres complexes possède les mêmes propriétés que la valeur absolue des nombres réels, on peut définir de manière analogue toutes les notions relatives aux limites ; remarquons d'ailleurs que les définitions qui suivent, appliquées au cas particulier des nombres réels, redonnent toutes les notions correspondantes pour ces nombres. On appelle suite de nombres complexes la don […] […] Lire la suite
OSGOOD WILLIAM FOGG (1864-1943)
Mathématicien américain, né à Boston et mort à Belmont (Massachusetts), William Fogg Osgood a joué un rôle important dans le développement de la recherche aux États-Unis. Osgood est entré au collège de Harvard en 1882 et, à l'exception de quelques années passées dans les universités allemandes, il y fera toute sa carrière. Au départ, il fut surtout influencé par les professeurs de physique théoriq […] […] Lire la suite
PROBABILITÉS CALCUL DES
Dans le chapitre « Inégalités et équivalences » : […] La plus ancienne des inégalités utilisées en calcul des probabilités est l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ; si on pose : en supposant bien entendu que ce moment d'ordre k existe, on a : en fait, on a même, d'une manière plus précise mais moins utilisable (car la vitesse avec laquelle la limite est atteinte dépend de la loi de probabilité) : On établit de même, et c'est un résultat très utile p […] […] Lire la suite
SÉRIES ET PRODUITS INFINIS
Dans le chapitre « Séries » : […] Soit G un groupe commutatif topologique séparé, dont la loi est notée additivement. On appelle série d'éléments de G un couple A = (( u n ), ( s n )) constitué de deux suites d'éléments de G telles que, pour tout entier naturel n , on ait : l'élément s n s'appelle somme à l'ordre n , la suite ( u n ), terme général , et la suite ( s n ), suite des sommes partielles de la série A. On dit que l […] […] Lire la suite
SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES
Dans le chapitre « La convergence des séries de Fourier » : […] Dirichlet avait établi que la convergence des séries de Fourier avait lieu pour des fonctions monotones et continues par morceaux, Du Bois-Reymond qu'elle n'avait pas nécessairement lieu pour des fonctions continues. Le théorème de Fischer-Riesz établit, quant à lui, que les sommes partielles de la série de Fourier d'une fonction f ∈ L 2 tendent vers f dans l'espace L 2 . Jusqu'en 1966, on n'a […] […] Lire la suite