CONTINUITÉ, mathématique

Intuitivement, on peut penser que le tracé d'une courbe est continu s'il peut se faire entièrement sans lever le crayon et que, dans le cas contraire, il est discontinu.

Soient donc une courbe dessinée dans un plan et un point A sur cette courbe. On pourra dire qu'il y a continuité au point A si, en partant d'un point de la courbe relativement proche de A, situé d'un côté ou de l'autre de ce dernier, on peut atteindre A sans lever le crayon. En interprétant cette situation en termes de fonction réelle d'une variable réelle, cette propriété de la courbe aux alentours du point A permet d'approcher la notion de continuité. Pour cela, choisissons dans ce plan un repère affine, c'est-à-dire un point O appelé origine et deux droites orientées (droites sur chacune desquelles un sens a été choisi), appelées axes de coordonnées, se croisant en O et sur lesquelles peuvent être mesurées des longueurs. Les points de la courbe peuvent être vus comme ayant pour coordonnées x (sur l'axe dit des abscisses) et f (x) [sur l'axe dit des ordonnées], où f est une fonction réelle d'une variable réelle. Si a et f (a) sont les coordonnées du point A, on dira que f est « continue en a » si f (x) peut être rendu aussi proche que l'on veut de f (a) à condition que x soit suffisamment proche de a.

Plus précisément, si f est une fonction de l'ensemble des nombres réels ℝ dans ℝ d'ensemble de définition D, on dit que f est continue en un point a de D si la limite de f (x) quand x tend vers a en appartenant à D existe et est égale à f (a). On dit que f est continue si elle est continue en tout point de D.

Par exemple, les fonctions f et g définies par f (x) = x² et g (x) = 1 /x sont continues en tout point de leur ensemble de définition (g n'est pas définie pour x = 0). Une fonction en escalier, telle que la fonction partie entière, généralement notée E et définie par « E (x) est le plus grand nombre entier relatif inférieur ou égal à x », est discontinue en x [...]