CONTINU & DISCRET

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Signification logico-mathématique de l'opposition

Point de vue élémentaire

Il faut distinguer un emploi adjectival du mot continu, principalement dans la locution application continue, de son emploi substantif, lorsqu'on parle du continu. Dans le premier emploi, continu désigne un caractère de régularité : les applications continues ne prennent jamais une valeur en un point qui contraste topologiquement avec les valeurs prises au voisinage de ce point. Continu s'oppose ici à discontinu, en un sens qui recoupe celui de la langue naturelle : on parle bien de discontinuité lorsqu'un objet se laisse attribuer des contenus qualitatifs ou quantitatifs disparates dans un champ de variabilité faible. Cet emploi est important, ne serait-ce que parce que les applications continues sont les êtres fonctionnels fondamentaux de la topologie (les morphismes de la catégorie associée), mais ce n'est pas lui qui fait comparaître l'opposition du continu et du discret.

Lorsqu'on parle du continu substantivement donc, on se réfère le plus souvent, de manière informelle, à la détermination essentielle de l'ensemble R des nombres réels, substrat de l'« analyse réelle », et dont la conquête fut si importante pour les mathématiques et la physique. Dans cette acception le continu s'oppose en effet au discret, l'ensemble des nombres réels présente une « richesse » qui le rend fortement hétérogène à ce que l'on comprend sous le mot discret ; en fait, R contient un sous-ensemble « discret » au sens fixé par la topologie, à savoir l'ensemble Z des entiers relatifs, si bien que l'opposition s'incarne comme l'opposition de R et Z, conformément au schéma élémentaire suivant :

L'opposition quantitative de ces deux ensembles fut révélée par Cantor, elle est en quelque sorte le point de départ de la théorie du transfini, la première illustration du sens qu'il y a à comparer les infinis au moyen de la notion d'équipotence tirée de la théorie des ensembles. L'ensemble Z a la même infinité que l'ensemble N, c'est l'infinité baptisée dénombrable, soit l'infinité de ce qui est justiciable d'une énumération, de ce qui s'égrène, s'ordonne en liste selon un principe permettant d'épuiser la totalité ; on pourrait appeler cette infinité l'infinité du « et ainsi de suite » ; or l'ensemble des nombres réels ne peut pas être énuméré de la sorte, on montre que toute supposée énumération permet de définir un nombre réel qui lui échappe, jamais atteint par elle : une énumération de R est « self-réfutative ». Le continu est donc associé à une infinité qui transcende par sa richesse le dénombrable du sous-ensemble discret Z : l'objet abstrait associé à cette infinité, le cardinal de R, se voit d'ailleurs appelé continu en théorie des ensembles.

L'opposition topologique tient dans le fait que R est un espace topologique connexe, un corps topologique connexe pour être plus précis, c'est-à-dire une entité qu'on ne peut pas faire éclater en deux bassins autarciques, en deux « ouverts » non triviaux, pour employer le mot fondamental du discours de la topologie. Alors que Z, comme tout espace discret, éclate en une infinité de tels bassins, chacun de ses éléments valant pour un « lieu » autonome (ne contaminant pas selon un bord d'autres lieux) : c'est un ensemble totalement morcelable, topologiquement constitué d'éléments « insulaires », collection « lacunaire » d'objets isolés (le concept d'espace topologique discret codifie cette séparabilité absolue dans le discours mathématique contemporain). On a longtemps parlé de cette opposition topologique du continu et du discret en se contentant de mentionner la « divisibilité à l'infini » qui règne dans R et qui n'est pas satisfaite dans Z ; mais on voit clairement aujourd'hui que cette propriété ne suffit pas à garantir l'impossibilité d'une scission de l'ensemble en deux ouverts : l'existence des nombres irrationnels, c'est-à-dire la non-existence d'un rationnel de carré 2 par exemple, permet de construire des morcellements de Q, qui possède pourtant la propriété dite de « divisibilité infinie » (qui est archimédien en termes techniques). En fait, la propriété de connexité se traduit par le fait que « toute partie majorée de R admet une borne supérieure » (la connexité et cet énoncé sont équivalents pour les corps ordonnés en général) : tout ensemble qui ne s'étend pas vers l'infini est « arrêté » par un nombr [...]

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Écrit par :

  • : professeur de philosophie des sciences, logique et épistémologie à l'université de Paris-X-Nanterre

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Pour citer l’article

Jean-Michel SALANSKIS, « CONTINU & DISCRET », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 18 mai 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/continu-et-discret/