CONTINU & DISCRET

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Signification logico-mathématique de l'opposition

Point de vue élémentaire

Il faut distinguer un emploi adjectival du mot continu, principalement dans la locution application continue, de son emploi substantif, lorsqu'on parle du continu. Dans le premier emploi, continu désigne un caractère de régularité : les applications continues ne prennent jamais une valeur en un point qui contraste topologiquement avec les valeurs prises au voisinage de ce point. Continu s'oppose ici à discontinu, en un sens qui recoupe celui de la langue naturelle : on parle bien de discontinuité lorsqu'un objet se laisse attribuer des contenus qualitatifs ou quantitatifs disparates dans un champ de variabilité faible. Cet emploi est important, ne serait-ce que parce que les applications continues sont les êtres fonctionnels fondamentaux de la topologie (les morphismes de la catégorie associée), mais ce n'est pas lui qui fait comparaître l'opposition du continu et du discret.

Lorsqu'on parle du continu substantivement donc, on se réfère le plus souvent, de manière informelle, à la détermination essentielle de l'ensemble R des nombres réels, substrat de l'« analyse réelle », et dont la conquête fut si importante pour les mathématiques et la physique. Dans cette acception le continu s'oppose en effet au discret, l'ensemble des nombres réels présente une « richesse » qui le rend fortement hétérogène à ce que l'on comprend sous le mot discret ; en fait, R contient un sous-ensemble « discret » au sens fixé par la topologie, à savoir l'ensemble Z des entiers relatifs, si bien que l'opposition s'incarne comme l'opposition de R et Z, conformément au schéma élémentaire suivant :

L'opposition quantitative de ces deux ensembles fut révélée par Cantor, elle est en quelque sorte le point de départ de la théorie du transfini, la première illustration du sens qu'il y a à comparer les infinis au moyen de la notion d'équipotence tirée de la théorie des ensembles. L'ensemble Z a la même infinité que l'ensemble N, c'est l'infinité [...]

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Écrit par :

  • : professeur de philosophie des sciences, logique et épistémologie à l'université de Paris-X-Nanterre

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Pour citer l’article

Jean-Michel SALANSKIS, « CONTINU & DISCRET », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 18 juin 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/continu-et-discret/