CONSTRUCTIVISME, mathématique

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Différentes variétés de constructivisme

De nombreuses variétés de ce constructivisme ont vu le jour depuis la fin du xixe siècle. Parmi les plus importantes, on peut citer, par ordre approximativement chronologique :

– la doctrine des « semi-intuitionnistes » français [René-Louis Baire (1874-1932), Émile Borel (1871-1956), Henri Lebesgue (1875-1941)], qui n'accorde d'existence qu'aux objets mathématiques explicitement définis ;

– le prédicativisme d'Henri Poincaré (1854-1912), qui plaide pour l'abandon des définitions « imprédicatives » où un objet est défini par référence à une collection à laquelle il appartient lui-même (si l'on cherche à construire la collection en question en introduisant successivement les objets qui la composent, on ne saurait introduire l'objet ainsi défini sans que la construction soit achevée, alors même que l'achèvement de la construction repose sur cette introduction) ;

– l'intuitionnisme de Luitzen Brouwer (1881-1966) et Arend Heyting (1898-1980), qui rejette certains principes de la logique classique, comme celui du tiers-exclu (A ou non A) ;

– le finitisme de David Hilbert (1862-1943), qui requiert que le raisonnement mathématique s'applique à des assemblages de symboles quasi concrets ;

– le constructivisme russe [Andreï Andreïevitch Markov (1856-1922), Nikolaï Alexandrovitch Shanin (né en 1919)], qui n'admet d'entités qu'autant qu'elles puissent être codées par des entiers naturels ou par des mots extraits d'un alphabet fini ;

– le constructivisme d'Errett Bishop (1928-1983), qui n'admet comme opérations mathématiques que celles qui correspondent à des algorithmes informatiques.

Ces traditions se séparent les unes des autres, selon qu'elles réservent leurs critiques à certaines techniques usuelles de définition des objets mathématiques, ou qu'elles adressent aussi des objections à la logique classique elle-même. La situation suivante montre, en effet, qu'une telle remise en question supplémentaire peut être requise d'un point de vue constructiviste. Définissons, par exemple, l'application f de l'ensemble des entiers naturels dans lui-même par : « f(n) = 0 si l'hypothèse du continu est fausse, et f(n) = 1 sinon » (l'hypothèse du continu HC est une fameuse conjecture de Georg Cantor (1845-1918), dont on sait aujourd'hui qu'elle ne peut être ni prouvée ni réfutée dans le cadre de la théorie actuelle des ensembles). Si l'on admet que HC est vraie ou fausse, alors on doit admettre que la fonction f est parfaitement définie, puisque, ou bien elle vaut partout 1 (si HC est vraie), ou bien elle vaut partout 0 (si HC est fausse) ; et donc qu'elle est parfaitement admissible pour un constructiviste, qui doit bien concéder qu'une fonction qui possède une valeur constante pour tous ses arguments est, de son propre point de vue, légitime. S'il accepte le principe logique du tiers-exclu, le constructiviste est donc contraint de considérer comme admissible une fonction dont il est prouvé que ne nous ne pourrons jamais calculer la valeur dans le cadre des mathématiques actuelles ! Cette situation évidemment très gênante montre que les révisions que le constructivisme préconise peuvent difficilement être cantonnées aux mathématiques, et qu'elles doivent s'étendre à la logique elle-même.

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Jacques-Paul DUBUCS, « CONSTRUCTIVISME, mathématique », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 10 mai 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/constructivisme-mathematique/