CONIQUES

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Les sections coniques

Le cône circulaire

Le cercle est la figure conique la plus simple et la plus ancienne ; il a été considéré comme une figure bien avant le couple de droites, pourtant plus simple a priori (de tels couples existent dans toute géométrie, alors que le cercle n'apparaît que dans quelques-unes). On peut alors définir le cône circulaire, ensemble des droites s'appuyant sur un point fixe (le sommet O) et sur un cercle (la base C). Le plus simple de ces cônes est le cône de révolution, où la droite qui joint O au centre de C est perpendiculaire au plan du cercle.

Les sections d'un cône circulaire par un plan sont appelées sections coniques. On peut ainsi obtenir, outre le cercle, des ellipses, des paraboles, des hyperboles et des figures particulières (droites sécantes si le plan passe par le sommet, droites confondues s'il contient de plus une tangente au cercle). Seul échappe à cette définition (conforme à l'étymologie) le cas de deux droites parallèles distinctes. Celui-ci pourra néanmoins venir compléter la famille en application du théorème : Toute section plane d'un cône dont une base est une conique est elle-même une conique ou le plan tout entier.

Ce théorème capital, qui va beaucoup plus loin que la définition grecque (qui ne considérait que certains types de cônes), affirme en quelque sorte que la notion de conique est la notion projective fondamentale, c'est-à-dire la notion invariante dans toute perspective par excellence, si l'on consent naturellement à étudier, dans le plan ou l'espace projectifs, autre chose que des configurations exclusivement formées de droites.

Dans le plan projectif où la notion de droites parallèles ne se différencie pas de celle de droites sécantes (en un point à l'infini), les ellipses, hyperboles et paraboles sont de même nature : ce sont des coniques propres. Deux droites distinctes, deux droites confondues forment les deux sous-familles de coniques décomposées.

Un théorème de Pascal

Citons maintenant un important résultat projectif, le célèbre théorème de Pascal : si A, B, C, D, E, F sont six points d'une conique (dé [...]

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André WARUSFEL, « CONIQUES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 30 juillet 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/coniques/