CONGRUENCE MODULO N

ANNEAUX COMMUTATIFS

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 6 490 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Idéaux »  : […] Rappelons qu'un idéal d'un anneau A est un sous-groupe additif qui est stable par multiplication par un élément quelconque de A, qu'il possède certaines propriétés. Nous nous contenterons de montrer comment on peut étendre aux idéaux le langage arithmétique usuel relatif aux nombres entiers. Les idéaux du type le plus simple sont obtenus ainsi : si a est un élément d'un anneau A, l'ensemble des […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/anneaux-commutatifs/#i_23738

ANNEAUX & ALGÈBRES

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 5 224 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Anneau des entiers relatifs modulo n »  : […] Nous allons maintenant indiquer un exemple fondamental d'anneau quotient qui montrera que le calcul des congruences dans l'anneau Z des entiers relatifs rentre dans la théorie des anneaux. Soit n un entier positif et considérons la relation d'équivalence définie par l'idéal ( n ) =  n Z des multiples de n  ; deux entiers x et y sont équivalents pour cette relation d'équivalence si, et seulement […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/anneaux-et-algebres/#i_23738

DIVISIBILITÉ

  • Écrit par 
  • Marcel DAVID
  •  • 3 894 mots

Dans le chapitre « Congruences »  : […] On se placera ici dans l'anneau Z des entiers relatifs. On dit que a est congru à b (modulo m ), ce qui s'écrit a  ≡  b (mod m ), lorsque m  | ( a  −  b ). Cette congruence modulo m , pour m fixé, est une relation d'équivalence (réflexive, transitive, symétrique) et permet donc de faire une partition de Z en classes (ensemble quotient par cette équivalence). Chacune de ces classes est appelée […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/divisibilite/#i_23738

NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres algébriques

  • Écrit par 
  • Christian HOUZEL
  •  • 14 064 mots

Dans le chapitre « La théorie des idéaux »  : […] Dedekind a remplacé la considération des « nombres idéaux », que Kummer n'avait jamais définis comme objets mathématiques, par celle d'objets véritables, qu'il a appelés les idéaux du corps K. L'idée est de considérer, au lieu d'un diviseur A et de la congruence f  (θ) ≡  g (θ) (mod A) qu'il définit dans les entiers algébriques, l'ensemble a de ces entiers qui sont congrus à 0 modulo A, c'est-à- […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-theorie-des-nombres-algebriques/#i_23738